Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Значение p = 0,03 означает:

AЭффект большой
BПри имеющихся данных нулевая гипотеза верна с вероятностью лишь 3%
CРезультат воспроизведётся в 97% случаев
DЕсли бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

2.Методы исследования в психологииСложная

Метаанализ объединяет 40 исследований терапии. Почему общая величина эффекта всё же может быть завышена?

AМетаанализы не могут включать рандомизированные испытания
BОбъединение исследований всегда устраняет любое смещение
CИз-за публикационного смещения могут отсутствовать неопубликованные исследования с нулевыми результатами
DМетаанализы всегда дают меньшие эффекты, чем включённые в них отдельные исследования

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 25, 41, 50, 10, 43.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 75. Найдите z-оценку z для результата 650.

μ = 500σ = 75x = 650

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,05, 0,25

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 12p = 0,25k = 3

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них превышает 161,2 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4> 161,2 g

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 90% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов90%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 70,5 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 70,5s = 1599%t(15) = 2,947

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?

p = 0,5E = 0,0395%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 502,7 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,7s = 10n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 399%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 3 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 3

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Если бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

Почему это ответ

Значение p — вероятность получить результаты не менее экстремальные, чем наблюдаемые, если нулевая гипотеза верна. Оно не показывает вероятность истинности гипотезы или размер эффекта.

Ответ

D · Если бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Из-за публикационного смещения могут отсутствовать неопубликованные исследования с нулевыми результатами

Почему это ответ

Если нулевые результаты публикуются реже, объединённый эффект завышается. Воронкообразные диаграммы и поиск неопубликованных данных помогают выявить и уменьшить это.

Ответ

C · Из-за публикационного смещения могут отсутствовать неопубликованные исследования с нулевыми результатами

3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,15

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 169/5 = 33,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−8,8)² + 7,2² + 16,2² + (−23,8)² + 9,2² = 1043

Стандартное отклонение

s = √(1043/4) = 16,15

Ответ

s = 16,15

4.Описательная статистика

Ответ: z = 2

Стандартизуйте

z = (650 − 500)/75 = 2

Ответ

z = 2

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,31

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,05 + 4·0,25 = 1,7

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,05 + 16·0,25 = 5,2

Дисперсия

Var(X) = 5,2 − 1,7² = 2,31

Ответ

Var(X) = 2,31

6.Вероятность

Ответ: P = 0,2581

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 3) = 220·0,25³·0,75⁹ = 220·0,01563·0,07508 = 0,2581

Ответ

P = 0,2581

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3085

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 160 g, σ_T = 1,2·√4 = 2,4 g

Стандартизуйте

z = (161,2 − 160)/2,4 = 0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 52,2 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 баллов

Ответ

x = 52,2 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 81,55

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Предельная ошибка

E = 2,947·15/√16 = 11,05

Интервал

70,5 ± 11,05 → [59,45, 81,55]

Ответ

верхняя граница = 81,55

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1068

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,03² = 1067

Округлите вверх

n = 1068

Ответ

n = 1068

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,43

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Статистика критерия

t = (502,7 − 500)/1,111 = 2,43

Ответ

t = 2,43

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 295

Выразите n

n = (2,576·20/3)² = 294,9

Округлите вверх

n = 295

Ответ

n = 295

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9647

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 74/6 = 12,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 125,3

Коэффициент детерминации

r² = 92²/(70·125,3) = 0,9647

Ответ

r² = 0,9647

Прямая объясняет около 96,47% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,5

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Линия регрессии

b = −28/10 = −2,8

a = 21,4 − (−2,8)·3 = 29,8

ŷ = 29,8 − 2,8·x

Найдите x

x = (20 − 29,8)/(−2,8) = 3,5

Ответ

x = 3,5

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 30,53

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 100·54/180 = 30, 100·54/180 = 30, 100·72/180 = 40

сотрудники: 80·54/180 = 24, 80·54/180 = 24, 80·72/180 = 32

Статистика хи-квадрат

χ² = (38 − 30)²/30 + (40 − 30)²/30 + (22 − 40)²/40 + (16 − 24)²/24 + (14 − 24)²/24 + (50 − 32)²/32

χ² = 30,53

Ответ

χ² = 30,53

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 2

Степени свободы

df = 3 − 1 = 2

Ответ

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology