Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
Критерии хи-квадрат
- Статистика критерия
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Согласие с распределением
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Независимость
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критические значения (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Решение
- отвергнуть H0, если χ² > χ²crit
2Тренировочные задачи
1.Методы исследования в психологииСредняя
Какой примерно процент значений нормального распределения лежит в пределах одного стандартного отклонения от среднего?
- A68%
- B99,7%
- C95%
- D50%
2.Методы исследования в психологииСложная
В обоснованной теории (grounded theory) сбор данных продолжают, пока:
- AНе получено p-значение ниже 0,05
- BНе подтвердилась исходная гипотеза
- CНе опрошено не менее 1,000 участников
- DНе достигнута теоретическая насыщенность и новые данные не добавляют новых категорий
3.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 26, 46, 47, 57, 32.
n = 5
s =
4.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 158?
μ = 170σ = 8x = 158
P =
5.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 8 человек? Порядок не важен.
n = 8k = 2
N =
6.ВероятностьСложная
В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?
n = 9p = 0,6k = 3
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 488 и 532 h? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 500σ = 40x1 = 488x2 = 532
P =
8.Нормальное распределениеСложная
Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
9.Доверительные интервалыСредняя
У 10 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 2,5 и стандартное отклонение 7,1. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 10d̄ = 2,5sd = 7,190%t(9) = 1,833
нижняя граница = mmHg
10.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 8,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.
n = 25s = 8,5 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 197 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197s = 20n = 36
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 14. Найдите минимальный объём выборки n.
α = 0,01мощность = 90%δ = 5σ = 14zα = 2,326zβ = 1,282
n =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 42Σy = 68Σx² = 364Σy² = 972Σxy = 594
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 23). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(9, 23)
e =
15.Критерии хи-квадратСредняя
Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.
N = 1602 × 2
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.
N = 1803 × 2α = 0,05
χ² =
3Растворы
1.Методы исследования в психологии
Ответ: A · 68%
Почему это ответ
Около 68% значений попадает в пределы ±1 SD, около 95% — в пределы ±2 SD и около 99,7% — в пределы ±3 SD.
Ответ
A · 68%
2.Методы исследования в психологии
Ответ: D · Не достигнута теоретическая насыщенность и новые данные не добавляют новых категорий
Почему это ответ
Обоснованная теория разрабатывает теорию индуктивно, одновременно собирая и кодируя данные, и прекращает формирование выборки, когда новые данные уже не развивают категории.
Ответ
D · Не достигнута теоретическая насыщенность и новые данные не добавляют новых категорий
3.Описательная статистика
Ответ: s = 12,46
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 208/5 = 41,6
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−15,6)² + 4,4² + 5,4² + 15,4² + (−9,6)² = 621,2
Стандартное отклонение
s = √(621,2/4) = 12,46
Ответ
s = 12,46
4.Описательная статистика
Ответ: P = 0,06681
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблица нормального распределения
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
5.Вероятность
Ответ: N = 28
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
Ответ
N = 28
6.Вероятность
Ответ: P = 0,07432
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 3) = 84·0,63·0,46 = 84·0,216·0,004096 = 0,07432
Ответ
P = 0,07432
7.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,4061
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3
z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8
Площадь между
P = Φ(0,8) − Φ(−0,3) = 0,7881 − 0,3821 = 0,4061
Ответ
P = 0,4061
8.Нормальное распределение
Ответ: x = 258,2 g
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,95
z из таблицы
z ≈ 1,64
Возврат к исходным единицам
x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g
Ответ
x = 258,2 g
9.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −1,615 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 9, t = 1,833
Предельная ошибка
E = 1,833·7,1/√10 = 4,115
Интервал
2,5 ± 4,115 → [−1,615, 6,615]
Ответ
нижняя граница = −1,615 mmHg
10.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 6,637 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 24·8,5² = 1734
Границы для σ²
1734/39,364 = 44,05
1734/12,401 = 139,8
Граница для σ
σ = √44,05 = 6,637 µm
Ответ
σ = 6,637 µm
95 % интервал для σ: [6,637, 11,82] µm.
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −0,9
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Статистика критерия
t = (197 − 200)/3,333 = −0,9
Ответ
t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
12.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 103
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((2,326 + 1,282)·14/5)² = 102,1
Округлите вверх
n = 103
Ответ
n = 103
13.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,994
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 594 − 42·68/6 = 118
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 972 − 68²/6 = 201,3
Коэффициент корреляции
r = 118/√(70·201,3) = 0,994
Ответ
r = 0,994
14.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = 4,6
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 62/5 = 12,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
Линия регрессии
b = 80/40 = 2
a = 12,4 − 2·6 = 0,4
ŷ = 0,4 + 2·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 0,4 + 2·9 = 18,4
Остаток
e = 23 − 18,4 = 4,6
Ответ
e = 4,6
Точка лежит выше прямой.
15.Критерии хи-квадрат
Ответ: χ² = 4,286
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Ожидаемые частоты
новый препарат: 80·48/160 = 24, 80·112/160 = 56
плацебо: 80·48/160 = 24, 80·112/160 = 56
Статистика хи-квадрат
χ² = (30 − 24)²/24 + (50 − 56)²/56 + (18 − 24)²/24 + (62 − 56)²/56
χ² = 4,286
Ответ
χ² = 4,286
df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.
16.Критерии хи-квадрат
Ответ: χ² = 2,101
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Ожидаемые частоты
возраст 18–30: 24, 36
возраст 31–50: 32, 48
возраст 51+: 16, 24
Статистика хи-квадрат
χ² = (28 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36 + (31 − 32)²/32 + (49 − 48)²/48 + (13 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24
χ² = 2,101
Решение
df = 2, χ²crit = 5,991
2,101 < 5,991
Ответ
χ² = 2,101
χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology