Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Новый опросник депрессии предсказывает, кто из студентов обратится за лечением в течение следующего года. Это подтверждает какой вид валидности?

AОчевидную (внешнюю) валидность
BСодержательную валидность
CТекущую (конкурентную) валидность
DПрогностическую валидность

2.Методы исследования в психологииСложная

Пациенты, отобранные из-за крайне высоких показателей тревожности, при повторном тестировании показывают более низкие результаты даже без лечения. Каково наиболее вероятное объяснение?

AРегрессия к среднему
BКонтрбалансировка
CХоторнский эффект
DЭффект потолка

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 33, 37, 31, 45, 51.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 82,5.

μ = 70σ = 10x = 82,5

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 3X + 1

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,1314. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,1314

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.Доверительные интервалыСредняя

У 10 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 0,8 и стандартное отклонение 0,6. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 10d̄ = 0,8s_d = 0,690%t(9) = 1,833

верхняя граница = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 27. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 27E = 2,599%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 493,8 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 493,8s = 20n = 100

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2,5 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 6. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 2,5σ = 6z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2402 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 6 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

3 × 6

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Прогностическую валидность

Почему это ответ

Прогностическая валидность подтверждается, когда результаты предсказывают более поздний критерий. Текущая валидность использует критерий, измеренный одновременно.

Ответ

D · Прогностическую валидность

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Регрессия к среднему

Почему это ответ

Когда людей отбирают по экстремальным значениям, ошибка измерения и случайность приводят к тому, что их последующие результаты смещаются к среднему. Контрольные группы помогают отделить это от эффекта лечения.

Ответ

A · Регрессия к среднему

3.Описательная статистика

Ответ: s = 8,414

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 197/5 = 39,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−6,4)² + (−2,4)² + (−8,4)² + 5,6² + 11,6² = 283,2

Стандартное отклонение

s = √(283,2/4) = 8,414

Ответ

s = 8,414

4.Описательная статистика

Ответ: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (82,5 − 70)/10 = 1,25

Ответ

z = 1,25

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,448

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,55

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,85

Дисперсия

Var(X) = 3,85 − 1,55² = 1,448

Ответ

Var(X) = 1,448

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,51

Разброс X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·0,8367 = 2,51

Ответ

σ_Y = 2,51

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·1 + 1 = 4.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,12

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,1314 = 0,8686

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8686 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,12

Ответ

z = 1,12

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 37,05 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Ответ

x = 37,05 min

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 1,148 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 9, t = 1,833

Предельная ошибка

E = 1,833·0,6/√10 = 0,3478

Интервал

0,8 ± 0,3478 → [0,4522, 1,148]

Ответ

верхняя граница = 1,148 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 774

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·27/2,5)² = 774

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 774

Ответ

n = 774

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Статистика критерия

t = (493,8 − 500)/2 = −3,1

Ответ

t = −3,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 50

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·6/2,5)² = 49,35

Округлите вверх

n = 50

Ответ

n = 50

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9733

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 82/5 = 16,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 243,2

Коэффициент корреляции

r = 96/√(40·243,2) = 0,9733

Ответ

r = 0,9733

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 11,2

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 89/6 = 14,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −63,5

Линия регрессии

b = −63,5/17,5 = −3,629

a = 14,83 − (−3,629)·3,5 = 27,53

ŷ = 27,53 − 3,629·x

Прогноз

ŷ = 27,53 + (−3,629)·4,5 = 11,2

Ответ

ŷ = 11,2

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 4,444

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 120·144/240 = 72, 120·96/240 = 48

женщины: 120·144/240 = 72, 120·96/240 = 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (80 − 72)²/72 + (40 − 48)²/48 + (64 − 72)²/72 + (56 − 48)²/48

χ² = 4,444

Ответ

χ² = 4,444

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 10

Степени свободы

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Ответ

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology