Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь сравнивает агрессивность детей до и после появления телевидения в отдалённом городке. Появление телевидения исследователь не контролировал. Это:

AПолевой эксперимент
BЕстественный эксперимент
CКорреляционный опрос о просмотре телевизора
DЛабораторный эксперимент

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь вызывает грустное настроение, показывая печальный фильм, а затем перед основным заданием просит участников оценить, насколько им грустно. Зачем включена эта оценка?

AДля дебрифинга участников о целях
BКак проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано
CКак основная зависимая переменная исследования
DДля контрбалансировки порядка условий

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 38, 21, 41, 33, 47, 33, 56.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 62.

μ = 70σ = 10x = 62

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 5X + 20

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6157. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6157

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 75% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 112,5 и стандартное отклонение s = 8. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 112,5s = 895%t(29) = 2,045

нижняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 18E = 395%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 89 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 89s = 20n = 16

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 12. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 12E = 0,595%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 35Σy = 338Σx² = 285Σy² = 23498Σxy = 2526

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 3 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

3 × 3

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Естественный эксперимент

Почему это ответ

В естественном эксперименте НП варьирует из-за событий, не зависящих от исследователя. Экологическая валидность высока, но случайное распределение невозможно.

Ответ

B · Естественный эксперимент

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Как проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано

Почему это ответ

Проверка манипуляции подтверждает, что НП вызвала задуманное психологическое состояние. Без неё нулевой результат мог бы означать, что манипуляция не удалась.

Ответ

B · Как проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано

3.Описательная статистика

Ответ: s = 11,19

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 269/7 = 38,43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−0,4286)² + (−17,43)² + 2,571² + (−5,429)² + 8,571² + (−5,429)² + 17,57² = 751,7

Стандартное отклонение

s = √(751,7/6) = 11,19

Ответ

s = 11,19

4.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (62 − 70)/10 = −0,8

Ответ

z = −0,8

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,41

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,7

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,3

Дисперсия

Var(X) = 4,3 − 1,7² = 1,41

Ответ

Var(X) = 1,41

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,023

Разброс X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·0,8047 = 4,023

Ответ

σ_Y = 4,023

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·0,95 + 20 = 24,75.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,87

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,6157)/2 = 0,8078

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8078 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,87

Ответ

z = 0,87

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 527 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,75

z из таблицы

z ≈ 0,67

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 0,67·40 = 527 h

Ответ

x = 527 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 109,5

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Предельная ошибка

E = 2,045·8/√30 = 2,987

Интервал

112,5 ± 2,987 → [109,5, 115,5]

Ответ

нижняя граница = 109,5

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 139

Выразите n

n = (1,96·18/3)² = 138,3

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 139

Ответ

n = 139

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Статистика критерия

t = (89 − 100)/5 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 2213

Выразите n

n = (1,96·12/0,5)² = 2213

Округлите вверх

n = 2213

Ответ

n = 2213

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9929

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2526 − 35·338/5 = 160

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 23498 − 338²/5 = 649,2

Коэффициент корреляции

r = 160/√(40·649,2) = 0,9929

Ответ

r = 0,9929

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,639

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 129/6 = 21,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5

Линия регрессии

b = −30,5/17,5 = −1,743

a = 21,5 − (−1,743)·3,5 = 27,6

ŷ = 27,6 − 1,743·x

Найдите x

x = (23 − 27,6)/(−1,743) = 2,639

Ответ

x = 2,639

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 8,182

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 120·81/180 = 54, 120·99/180 = 66

некурящие: 60·81/180 = 27, 60·99/180 = 33

Статистика хи-квадрат

χ² = (63 − 54)²/54 + (57 − 66)²/66 + (18 − 27)²/27 + (42 − 33)²/33

χ² = 8,182

Ответ

χ² = 8,182

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 4

Степени свободы

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Ответ

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology