Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какая статистика подходит для связи между двумя наборами рангов, например ранжированиями картин судьями?

Ar Пирсона
BРо Спирмена
CХи-квадрат
Dt-критерий для независимых выборок

2.Методы исследования в психологииСложная

В обоснованной теории (grounded theory) сбор данных продолжают, пока:

AНе получено p-значение ниже 0,05
BНе опрошено не менее 1,000 участников
CНе достигнута теоретическая насыщенность и новые данные не добавляют новых категорий
DНе подтвердилась исходная гипотеза

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 33, 16, 22, 24, 40, 11, 36.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 59.

μ = 50σ = 15x = 59

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,05, 0,35, 0,1

σ =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,25Y = 10X + 4

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 442 и 520 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 520

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

У 8 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −5,5 и стандартное отклонение 3. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для средней разности.

n = 8d̄ = −5,5s_d = 395%t(7) = 2,365

E = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 16. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 16E = 1,599%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 8 студентов, средний балл 60, стандартное отклонение 11,5. Группа 2: 8 студентов, средний балл 46,2, стандартное отклонение 4. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 8x̄₁ = 60s₁ = 11,5n₂ = 8x̄₂ = 46,2s₂ = 4

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 9. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 2σ = 9z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 5 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Ро Спирмена

Почему это ответ

Ранговая корреляция Спирмена измеряет силу монотонной связи между двумя ранжированными или порядковыми переменными.

Ответ

B · Ро Спирмена

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Не достигнута теоретическая насыщенность и новые данные не добавляют новых категорий

Почему это ответ

Обоснованная теория разрабатывает теорию индуктивно, одновременно собирая и кодируя данные, и прекращает формирование выборки, когда новые данные уже не развивают категории.

Ответ

C · Не достигнута теоретическая насыщенность и новые данные не добавляют новых категорий

3.Описательная статистика

Ответ: s = 10,72

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 182/7 = 26

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 7² + (−10)² + (−4)² + (−2)² + 14² + (−15)² + 10² = 690

Стандартное отклонение

s = √(690/6) = 10,72

Ответ

s = 10,72

4.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (59 − 50)/15 = 0,6

Ответ

z = 0,6

5.Вероятность

Ответ: σ = 1,445

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,1 = 1,75

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,1 = 5,15

Дисперсия

Var(X) = 5,15 − 1,75² = 2,088

σ = √2,088 = 1,445

Ответ

σ = 1,445

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 106,8

Разброс X

μ = 26, Var(X) = 114, σ_X = 10,68

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·10,68 = 106,8

Ответ

σ_Y = 106,8

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·26 + 4 = 264.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6179

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−1,45) = 0,6915 − 0,07353 = 0,6179

Ответ

P = 0,6179

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 254,2 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Ответ

x = 254,21 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,508 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 7, t = 2,365

Предельная ошибка

E = 2,365·3/√8 = 2,508

Ответ

E = 2,508 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 756

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·16/1,5)² = 755

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 756

Ответ

n = 756

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 3,206

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (7·11,5² + 7·4²)/14 = 74,13

s_p = 8,61

Стандартная ошибка

SE = 8,61·√(1/8 + 1/8) = 4,305

Статистика критерия

t = (60 − 46,2)/4,305 = 3,206

Ответ

t = 3,206

При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 126

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·9/2)² = 125,2

Округлите вверх

n = 126

Ответ

n = 126

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9828

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 176/6 = 29,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1123

Коэффициент детерминации

r² = 278²/(70·1123) = 0,9828

Ответ

r² = 0,9828

Прямая объясняет около 98,28% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 50,95

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 284/5 = 56,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39

Линия регрессии

b = 39/10 = 3,9

a = 56,8 − 3,9·5 = 37,3

ŷ = 37,3 + 3,9·x

Прогноз

ŷ = 37,3 + 3,9·3,5 = 50,95

Ответ

ŷ = 50,95

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 16,78

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 100·24/160 = 15, 100·64/160 = 40, 100·72/160 = 45

село: 60·24/160 = 9, 60·64/160 = 24, 60·72/160 = 27

Статистика хи-квадрат

χ² = (14 − 15)²/15 + (29 − 40)²/40 + (57 − 45)²/45 + (10 − 9)²/9 + (35 − 24)²/24 + (15 − 27)²/27

χ² = 16,78

Ответ

χ² = 16,78

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 9,488

Степени свободы

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Таблица

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Ответ

χ²_crit = 9,488

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology