Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Стандартная ошибка среднего уменьшается, когда:

AУменьшается объём выборки
BУвеличивается среднее
CПеременная измеряется по порядковой шкале
DУвеличивается объём выборки

2.Методы исследования в психологииСложная

Какой непараметрический тест сравнивает две связанные выборки, например баллы «до» и «после» по порядковой шкале?

AКритерий хи-квадрат на независимость
BU-критерий Манна — Уитни
CКритерий знаковых рангов Уилкоксона
Dt-критерий для независимых выборок

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 27, 12, 57, 29, 11.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 179.

μ = 170σ = 15x = 179

z =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 4 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 4

P =

6.ВероятностьСложная

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 9p = 0,25k = 3

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них меньше 162,4 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4< 162.4 g

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 4. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по тем же данным?

99%n₁ = 50E₁ = 495%

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p = 0,5E = 0,0290%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 122,6 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,6s = 10n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 49,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 49,4σ = 5n = 8190%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 90). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(9, 90)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 4 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Увеличивается объём выборки

Почему это ответ

Стандартная ошибка оценивает, насколько выборочные средние разбросаны вокруг среднего популяции. Большие выборки дают более точные оценки.

Ответ

D · Увеличивается объём выборки

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Критерий знаковых рангов Уилкоксона

Почему это ответ

Критерий Уилкоксона предназначен для парных порядковых данных; U-критерий Манна — Уитни — его аналог для независимых групп.

Ответ

C · Критерий знаковых рангов Уилкоксона

3.Описательная статистика

Ответ: s = 18,61

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 136/5 = 27,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−0,2)² + (−15,2)² + 29,8² + 1,8² + (−16,2)² = 1385

Стандартное отклонение

s = √(1385/4) = 18,61

Ответ

s = 18,61

4.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (179 − 170)/15 = 0,6

Ответ

z = 0,6

5.Вероятность

Ответ: P = 0,5177

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Ответ

P = 0,5177

6.Вероятность

Ответ: P = 0,2336

Формула Бернулли

P(X = 3) = 84·0,25³·0,75⁶ = 84·0,01563·0,178 = 0,2336

Ответ

P = 0,2336

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 160 g, σ_T = 1,2·√4 = 2,4 g

Стандартизуйте

z = (162,4 − 160)/2,4 = 1

Вероятность

P = Φ(1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 3,043

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/50) = 0,7609

Новая предельная ошибка

E₂ = 4·0,7609 = 3,043

Ответ

E₂ = 3,043

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691

Округлите вверх

n = 1692

Ответ

n = 1692

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,08

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Статистика критерия

t = (122,6 − 120)/1,25 = 2,08

Ответ

t = 2,08

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 50,31

Предельная ошибка

E = 1,645·5/√81 = 0,9139

Граница интервала

U = 49,4 + 0,9139 = 50,31

Ответ

U = 50,31

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9833

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 104/6 = 17,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 341,3

Коэффициент корреляции

r = 152/√(70·341,3) = 0,9833

Ответ

r = 0,9833

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,8

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 354/5 = 70,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Линия регрессии

b = 192/40 = 4,8

a = 70,8 − 4,8·6 = 42

ŷ = 42 + 4,8·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 42 + 4,8·9 = 85,2

Остаток

e = 90 − 85,2 = 4,8

Ответ

e = 4,8

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,3438

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 80·18/120 = 12, 80·48/120 = 32, 80·54/120 = 36

ночная смена: 40·18/120 = 6, 40·48/120 = 16, 40·54/120 = 18

Статистика хи-квадрат

χ² = (13 − 12)²/12 + (31 − 32)²/32 + (36 − 36)²/36 + (5 − 6)²/6 + (17 − 16)²/16 + (18 − 18)²/18

χ² = 0,3438

Ответ

χ² = 0,3438

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 2

Степени свободы

df = 4 − 1 − 1 = 2

Ответ

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology