Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

В распределении с положительной асимметрией, например в распределении доходов:

AСреднее больше медианы
BСреднее и медиана всегда равны
CСреднее меньше медианы
DЭкстремальных значений нет

2.Методы исследования в психологииСложная

Почему многие исследователи считают, что p-значения следует сообщать вместе с величинами эффекта и доверительными интервалами?

AВеличины эффекта делают объём выборки несущественным для значимости
BP-значения показывают вероятность того, что гипотеза верна
CДоверительные интервалы нужны только в качественных исследованиях
DP-значение не показывает, насколько велик эффект и насколько точно он оценён

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 13, 55, 35, 42, 48, 22, 16.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 40,4.

μ = 50σ = 8x = 40,4

z =

5.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 5 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 5

P =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,6

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8664. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8664

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 20% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов20%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 15,5 и стандартное отклонение s = 1. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 15,5s = 199%t(19) = 2,861

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 4. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 4E = 1,599%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 10. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 81,96. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 10n = 100x̄ = 81,96H₁: μ > μ₀

p =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 8. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 8E = 0,590%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «дневная смена, значительный».

итог по строке = 71итог по столбцу = 76N = 180

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 7 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Среднее больше медианы

Почему это ответ

Несколько очень высоких значений в правом «хвосте» поднимают среднее выше медианы, поэтому для асимметричных данных часто указывают медиану.

Ответ

A · Среднее больше медианы

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · P-значение не показывает, насколько велик эффект и насколько точно он оценён

Почему это ответ

P-значение сильно зависит от объёма выборки и лишь показывает, насколько неожиданны данные при нулевой гипотезе. Величины эффекта показывают масштаб, а интервалы — точность.

Ответ

D · P-значение не показывает, насколько велик эффект и насколько точно он оценён

3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,35

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 231/7 = 33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−20)² + 22² + 2² + 9² + 15² + (−11)² + (−17)² = 1604

Стандартное отклонение

s = √(1604/6) = 16,35

Ответ

s = 16,35

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (40,4 − 50)/8 = −1,2

Ответ

z = −1,2

5.Вероятность

Ответ: P = 0,3182

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Ответ

P = 0,3182

6.Вероятность

Ответ: P = 0,01884

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4⁷ = 0,001638

P(X = 1) = 7·0,6·0,4⁶ = 0,0172

Сложите

P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884

Ответ

P = 0,01884

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,5

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8664)/2 = 0,9332

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9332 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,50

Ответ

z = 1,50

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 112,6 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 100 + 0,84·15 = 112,6 баллов

Ответ

x = 112,6 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 16,14

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Предельная ошибка

E = 2,861·1/√20 = 0,6397

Интервал

15,5 ± 0,6397 → [14,86, 16,14]

Ответ

верхняя граница = 16,14

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 48

Выразите n

n = (2,576·4/1,5)² = 47,19

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 48

Ответ

n = 48

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,025

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (81,96 − 80)/1 = 1,96

Площадь хвоста

Φ(1,96) = 0,9750

1 − Φ(1,96) = 0,0250

p-значение

p = 0,025

Ответ

p = 0,025

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 693

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·8/0,5)² = 692,7

Округлите вверх

n = 693

Ответ

n = 693

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9781

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 149,3

Коэффициент корреляции

r = −50/√(17,5·149,3) = −0,9781

Ответ

r = −0,9781

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 35,4

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 192/5 = 38,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 20

Линия регрессии

b = 20/10 = 2

a = 38,4 − 2·4 = 30,4

ŷ = 30,4 + 2·x

Прогноз

ŷ = 30,4 + 2·2,5 = 35,4

Ответ

ŷ = 35,4

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 29,98

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 71·76/180 = 29,98

Ответ

E = 29,98

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 15,09

Степени свободы

df = 7 − 1 − 1 = 5

Таблица

χ²_crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086

Ответ

χ²_crit = 15,086

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology