Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Публикационное смещение означает, что:

  1. AИсследователи публикуют одно и то же исследование дважды
  2. BИсследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами
  3. CРецензенты отдают предпочтение статьям авторов из известных университетов перед менее известными
  4. DЖурналы публикуют только качественные исследования
2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь измеряет влияние шума на концентрацию. Участников в условии с шумом случайно тестировали утром, а в условии тишины — днём. В чём проблема?

  1. AВремя суток — смешивающая переменная
  2. BДанные номинальные
  3. CВремя суток — зависимая переменная
  4. DВ исследовании слишком много условий
3.Описательная статистикаСредняя
152025303540455055

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 27, 11, 44, 24, 29, 21, 55.

n = 7
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 73?

μ = 70σ = 5x = 73
P =
5.ВероятностьСредняя
n = 6k = 3N = ?

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 6 человек? Порядок не важен.

n = 6k = 3
N =
6.ВероятностьСложная
n = 10, p = 0,4: P(X = 1) = ?k012345678910

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 10p = 0,4k = 1
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
164,35181,85P = ?

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 164,35 и 181,85 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x1 = 164,35x2 = 181,85
P =
8.Нормальное распределениеСложная
μ = 178x = ?10%

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
9.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 81 h, известное стандартное отклонение 15 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 72,5 h, известное стандартное отклонение 10 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 81 hσ₁ = 15 hn₂ = 60x̄₂ = 72,5 hσ₂ = 10 h99%
верхняя граница = h
10.Доверительные интервалыСложная
μ₁ − μ₂, t(12) = 3,0550LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 5 участков, средний урожай 84,5 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Группа участков 2: 9 участков, среднее 87 kg, стандартное отклонение 8 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 84,5s₁ = 7,5n₂ = 9x̄₂ = 87s₂ = 899%t(12) = 3,055
E = kg
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,3652,365t = ?df = 7

8 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 7,08, стандартное отклонение разностей — 7,7. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.

n = 8d̄ = 7,08sd = 7,7
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
μ₀x̄c

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 5. В действительности среднее равно 498.2. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 498,2σ = 5n = 25α = 0,01
β = %
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy129225325420522xy24202530

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy129228337441548xy24304050x = 1,5

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (1,5, 26). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 26)
e =
15.Критерии хи-квадратСредняя
без дефектовнезначительныйзначительныйИтогодневная смена9191240ночная смена16162860Итого253540100

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1002 × 3
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 4 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Исследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами

Почему это ответ

Когда незначимые исследования остаются в ящиках столов, опубликованная литература завышает величины эффектов, что искажает метаанализы.

Ответ

B · Исследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами
2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Время суток — смешивающая переменная

Почему это ответ

Поскольку шум и время тестирования меняются вместе, любое различие может быть вызвано любым из них. Случайное распределение времени тестирования или его фиксация устранили бы конфаунд.

Ответ

A · Время суток — смешивающая переменная
3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,77

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 211/7 = 30,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−3,143)² + (−19,14)² + 13,86² + (−6,143)² + (−1,143)² + (−9,143)² + 24,86² = 1309

Стандартное отклонение

s = √(1309/6) = 14,77

Ответ

s = 14,77
4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2743

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Ответ

P = 0,2743
5.Вероятность

Ответ: N = 20

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Ответ

N = 20
6.Вероятность

Ответ: P = 0,04031

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 1) = 10·0,41·0,69 = 10·0,4·0,01008 = 0,04031

Ответ

P = 0,04031
7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6833

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95
z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

Площадь между

P = Φ(0,55) − Φ(−1,95) = 0,7088 − 0,02559 = 0,6833

Ответ

P = 0,6833
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 169 cm

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Ответ

x = 169,03 cm
9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 16,3 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 81 − 72,5 = 8,5

Стандартная ошибка

SE = √(15²/30 + 10²/60) = 3,028

Предельная ошибка

E = 2,576·3,028 = 7,799

Интервал

8,5 ± 7,799 → [0,7008, 16,3]

Ответ

верхняя граница = 16,3 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: E = 13,35 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

sp² = (4·7,5² + 8·8²)/12 = 61,42
sp = 7,837

Предельная ошибка

E = 3,055·7,837·√(1/5 + 1/9) = 13,35

Ответ

E = 13,35 kg
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,601

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 7,7/√8 = 2,722

Статистика критерия

t = 7,08/2,722 = 2,601

Ответ

t = 2,601

При df = 7 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,365; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 70,06 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 5/√25 = 1
x̄c = 500 − 2,326·1 = 497,7

z при истинном среднем

z = (497,7 − 498,2)/1 = −0,526

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < −0.526) = 29.94%
β = 100% − 29,94% = 70,06%

Ответ

β = 70,06%
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,8783

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 121/5 = 24,2

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 46,8

Коэффициент корреляции

r = −19/√(10·46,8) = −0,8783

Ответ

r = −0,8783
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −2,95

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 183/5 = 36,6

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

Линия регрессии

b = 51/10 = 5,1
a = 36,6 − 5,1·3 = 21,3
ŷ = 21,3 + 5,1·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 21,3 + 5,1·1,5 = 28,95

Остаток

e = 26 − 28,95 = −2,95

Ответ

e = −2,95

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 4,81

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 40·25/100 = 10, 40·35/100 = 14, 40·40/100 = 16
ночная смена: 60·25/100 = 15, 60·35/100 = 21, 60·40/100 = 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (9 − 10)²/10 + (19 − 14)²/14 + (12 − 16)²/16 + (16 − 15)²/15 + (16 − 21)²/21 + (28 − 24)²/24
χ² = 4,81

Ответ

χ² = 4,81

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 5,991

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 4 − 1 − 1 = 2

Таблица

χ²crit(df = 2, α = 0,05) = 5,991

Ответ

χ²crit = 5,991

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology