Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какой критерий сравнивает две независимые группы, когда данные порядковые или явно не нормальные?

AКритерий хи-квадрат
BU-критерий Манна — Уитни
CКритерий знаковых рангов Уилкоксона
Dt-критерий для независимых выборок

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь измеряет влияние шума на концентрацию. Участников в условии с шумом случайно тестировали утром, а в условии тишины — днём. В чём проблема?

AВ исследовании слишком много условий
BВремя суток — смешивающая переменная
CДанные номинальные
DВремя суток — зависимая переменная

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 38, 23, 42, 16, 56, 25.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 130.

μ = 170σ = 20x = 130

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,2

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €3. Вы выигрываете €6 с вероятностью 0,15 и €30 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €3€6: p = 0,15€30: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них меньше 801 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 801 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5,7. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по тем же данным?

90%n₁ = 100E₁ = 5,799%

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?

p = 0,5E = 0,02590%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 72,69 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,69s = 8n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 0,599%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 23). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(9, 23)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 6 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · U-критерий Манна — Уитни

Почему это ответ

U-критерий Манна — Уитни сравнивает ранги двух несвязанных групп. Критерий знаковых рангов Уилкоксона предназначен для связанных выборок.

Ответ

B · U-критерий Манна — Уитни

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Время суток — смешивающая переменная

Почему это ответ

Поскольку шум и время тестирования меняются вместе, любое различие может быть вызвано любым из них. Случайное распределение времени тестирования или его фиксация устранили бы конфаунд.

Ответ

B · Время суток — смешивающая переменная

3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,75

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 200/6 = 33,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 4,667² + (−10,33)² + 8,667² + (−17,33)² + 22,67² + (−8,333)² = 1087

Стандартное отклонение

s = √(1087/5) = 14,75

Ответ

s = 14,75

4.Описательная статистика

Ответ: z = −2

Стандартизуйте

z = (130 − 170)/20 = −2

Ответ

z = −2

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,31

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,2 = 2,3

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,2 = 6,6

Дисперсия

Var(X) = 6,6 − 2,3² = 1,31

Ответ

Var(X) = 1,31

6.Вероятность

Ответ: E(G) = −1,8 €

Чистые исходы

G: 3 (p = 0,15), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)

Математическое ожидание

E(G) = 3·0,15 + 27·0,01 − 3·0,84 = −1,8 €

Ответ

E(G) = −1,8 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Стандартизуйте

z = (801 − 765)/36 = 1

Вероятность

P = Φ(1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9868

Распределение разности

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Ответ

P = 0,9868

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 8,926

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/100) = 1,566

Новая предельная ошибка

E₂ = 5,7·1,566 = 8,926

Ответ

E₂ = 8,926

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1083

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082

Округлите вверх

n = 1083

Ответ

n = 1083

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,599

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Статистика критерия

t = (72,69 − 75)/0,8889 = −2,599

Ответ

t = −2,599

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 425

Выразите n

n = (2,576·4/0,5)² = 424,7

Округлите вверх

n = 425

Ответ

n = 425

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,823

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 124/6 = 20,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 27,33

Коэффициент корреляции

r = −18/√(17,5·27,33) = −0,823

Ответ

r = −0,823

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,229

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 102/6 = 17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

Линия регрессии

b = 132/70 = 1,886

a = 17 − 1,886·7 = 3,8

ŷ = 3,8 + 1,886·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 3,8 + 1,886·9 = 20,77

Остаток

e = 23 − 20,77 = 2,229

Ответ

e = 2,229

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,347

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 80·90/200 = 36, 80·110/200 = 44

плацебо: 120·90/200 = 54, 120·110/200 = 66

Статистика хи-квадрат

χ² = (32 − 36)²/36 + (48 − 44)²/44 + (58 − 54)²/54 + (62 − 66)²/66

χ² = 1,347

Ответ

χ² = 1,347

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 18,31

Степени свободы

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Таблица

χ²_crit(df = 10, α = 0,05) = 18,307

Ответ

χ²_crit = 18,307

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology