Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Тест настолько лёгок, что почти все участники набирают близкий к максимальному балл. Это называют:

AЭффектом потолка
BЭффектом нижней границы
CЭффектом тренировки
DЭффектом порядка

2.Методы исследования в психологииСложная

Увеличение объёма выборки в исследовании наиболее непосредственно:

AПовышает статистическую мощность для обнаружения реального эффекта
BГарантирует статистически значимый результат, если эффект существует
CУвеличивает размер эффекта
DУстраняет любое смещение выборки

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 22, 31, 36, 15, 46, 29.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 55.

μ = 50σ = 5x = 55

z =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 12 человек? Порядок не важен.

n = 12k = 2

N =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2Y = 0,5X − 3

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 454 и 580 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 454x₂ = 580

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

У 13 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −7 и стандартное отклонение 0,5. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 13d̄ = −7s_d = 0,599%t(12) = 3,055

верхняя граница = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 11 участков, средний урожай 98,5 kg, стандартное отклонение 10 kg. Группа участков 2: 10 участков, среднее 110 kg, стандартное отклонение 5,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 98,5s₁ = 10n₂ = 10x̄₂ = 110s₂ = 5,599%t(19) = 2,861

нижняя граница = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 45,11 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 45,11s = 20n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 10. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 10E = 395%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 61?

n = 5ŷ = 61

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1002 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Эффектом потолка

Почему это ответ

Эффект потолка скрывает различия между условиями, поскольку никто не может набрать больше. Эффект нижней границы («эффект пола») — обратная ситуация, когда задание слишком трудное.

Ответ

A · Эффектом потолка

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Повышает статистическую мощность для обнаружения реального эффекта

Почему это ответ

Более крупные выборки уменьшают стандартную ошибку и повышают мощность. Они не меняют истинный размер эффекта и не устраняют систематическое смещение.

Ответ

A · Повышает статистическую мощность для обнаружения реального эффекта

3.Описательная статистика

Ответ: s = 10,8

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 179/6 = 29,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−7,833)² + 1,167² + 6,167² + (−14,83)² + 16,17² + (−0,8333)² = 582,8

Стандартное отклонение

s = √(582,8/5) = 10,8

Ответ

s = 10,8

4.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (55 − 50)/5 = 1

Ответ

z = 1

5.Вероятность

Ответ: N = 66

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Ответ

N = 66

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 1,108

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,7, Var(X) = 4,91, σ_X = 2,216

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·2,216 = 1,108

Ответ

σ_Y = 1,108

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·2,7 − 3 = −1,65.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8522

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15

z₂ = (580 − 500)/40 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−1,15) = 0,9772 − 0,1251 = 0,8522

Ответ

P = 0,8522

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7611

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Ответ

P = 0,7611

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −6,576 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 12, t = 3,055

Предельная ошибка

E = 3,055·0,5/√13 = 0,4237

Интервал

−7 ± 0,4237 → [−7,424, −6,576]

Ответ

верхняя граница = −6,576 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −21,73 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (10·10² + 9·5,5²)/19 = 66,96

s_p = 8,183

Предельная ошибка

E = 2,861·8,183·√(1/11 + 1/10) = 10,23

Интервал

−11,5 ± 10,23 → [−21,73, −1,271]

Ответ

нижняя граница = −21,73 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,201

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерия

t = (45,11 − 50)/2,222 = −2,201

Ответ

t = −2,201

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 43

Выразите n

n = (1,96·10/3)² = 42,68

Округлите вверх

n = 43

Ответ

n = 43

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9965

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 448/5 = 89,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2117

Коэффициент корреляции

r = 290/√(40·2117) = 0,9965

Ответ

r = 0,9965

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,507

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 286/5 = 57,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 75

Линия регрессии

b = 75/10 = 7,5

a = 57,2 − 7,5·3 = 34,7

ŷ = 34,7 + 7,5·x

Найдите x

x = (61 − 34,7)/7,5 = 3,507

Ответ

x = 3,507

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 11,11

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 60·40/100 = 24, 60·60/100 = 36

некурящие: 40·40/100 = 16, 40·60/100 = 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (32 − 24)²/24 + (28 − 36)²/36 + (8 − 16)²/16 + (32 − 24)²/24

χ² = 11,11

Ответ

χ² = 11,11

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5,25

Ожидаемые частоты

линия 1: 60, 40

линия 2: 24, 16

линия 3: 48, 32

Статистика хи-квадрат

χ² = (54 − 60)²/60 + (46 − 40)²/40 + (30 − 24)²/24 + (10 − 16)²/16 + (48 − 48)²/48 + (32 − 32)²/32

χ² = 5,25

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

5,25 < 5,991

Ответ

χ² = 5,25

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology