Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Чтобы получить выборку с теми же пропорциями студентов первого, второго и третьего курсов, что и в университете, исследователь должен использовать:

  1. AВыборку добровольцев
  2. BВыборку методом «снежного кома»
  3. CСтратифицированную выборку
  4. DДоступную выборку
2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь измеряет влияние шума на концентрацию. Участников в условии с шумом случайно тестировали утром, а в условии тишины — днём. В чём проблема?

  1. AДанные номинальные
  2. BВремя суток — зависимая переменная
  3. CВремя суток — смешивающая переменная
  4. DВ исследовании слишком много условий
3.Описательная статистикаСредняя
2025303540455055

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 25, 18, 27, 48, 46, 56.

n = 6
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 73,2.

μ = 70σ = 8x = 73,2
z =
5.ВероятностьСредняя
n = 12k = 5N = ?

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 12 человек? Порядок не важен.

n = 12k = 5
N =
6.ВероятностьСложная
n = 9, p = 0,6: P(X = 1) = ?k0123456789

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 9p = 0,6k = 1
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
−3−2−10123zзакрашенная площадь между −z и z = 0,9051

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9051. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9051
z =
8.Нормальное распределениеСложная
557085100115130145балловниз 60%

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 60% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов60%
x = баллов
9.Доверительные интервалыСредняя
n = 13, s = 12L = ?Ux̄ = 17E90%

Выборка из 13 элементов имеет среднее 17 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 13x̄ = 17s = 1290%t(12) = 1,782
нижняя граница =
10.Доверительные интервалыСложная
p ≈ 0,7, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0290%

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,7 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p ≈ 0,7E = 0,0290%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,06402,064

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 72,8 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,8s = 5n = 25
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −1,64501,645

Выборка из 36 измерений имеет среднее 499,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 499,8σ = 15n = 3690%
U =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy125225321419518619xy2462025

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 127Σx² = 91Σy² = 2737Σxy = 418
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy238340442544647xy2464045x = 2,5

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =
15.Критерии хи-квадратСредняя
автобусвелосипедавтомобильИтогостуденты15254080сотрудники215623100Итого368163180

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 5 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Стратифицированную выборку

Почему это ответ

Стратифицированная выборка выделяет подгруппы (страты) и случайно отбирает участников из каждой пропорционально её доле в популяции, что делает выборку более репрезентативной.

Ответ

C · Стратифицированную выборку
2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Время суток — смешивающая переменная

Почему это ответ

Поскольку шум и время тестирования меняются вместе, любое различие может быть вызвано любым из них. Случайное распределение времени тестирования или его фиксация устранили бы конфаунд.

Ответ

C · Время суток — смешивающая переменная
3.Описательная статистика

Ответ: s = 15,28

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 220/6 = 36,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−11,67)² + (−18,67)² + (−9,667)² + 11,33² + 9,333² + 19,33² = 1167

Стандартное отклонение

s = √(1167/5) = 15,28

Ответ

s = 15,28
4.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = (73,2 − 70)/8 = 0,4

Ответ

z = 0,4
5.Вероятность

Ответ: N = 792

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Ответ

N = 792
6.Вероятность

Ответ: P = 0,003539

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 1) = 9·0,61·0,48 = 9·0,6·0,0006554 = 0,003539

Ответ

P = 0,003539
7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,67

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9525 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,67

Ответ

z = 1,67
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 103,8 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,6

z из таблицы

z ≈ 0,25

Возврат к исходным единицам

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 баллов

Ответ

x = 103,8 баллов
9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 11,07

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Предельная ошибка

E = 1,782·12/√13 = 5,931

Интервал

17 ± 5,931 → [11,07, 22,93]

Ответ

нижняя граница = 11,07
10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1421

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,7·0,3/0,02² = 1421

Округлите вверх

n = 1421

Ответ

n = 1421
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерия

t = (72,8 − 75)/1 = −2,2

Ответ

t = −2,2
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 503,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·15/√36 = 4,112

Граница интервала

U = 499,8 + 4,112 = 503,9

Ответ

U = 503,9
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9065

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 418 − 21·127/6 = −26,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2737 − 127²/6 = 48,83

Коэффициент корреляции

r = −26,5/√(17,5·48,83) = −0,9065

Ответ

r = −0,9065
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 38,9

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 211/5 = 42,2

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22

Линия регрессии

b = 22/10 = 2,2
a = 42,2 − 2,2·4 = 33,4
ŷ = 33,4 + 2,2·x

Прогноз

ŷ = 33,4 + 2,2·2,5 = 38,9

Ответ

ŷ = 38,9
15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 15,42

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 80·36/180 = 16, 80·81/180 = 36, 80·63/180 = 28
сотрудники: 100·36/180 = 20, 100·81/180 = 45, 100·63/180 = 35

Статистика хи-квадрат

χ² = (15 − 16)²/16 + (25 − 36)²/36 + (40 − 28)²/28 + (21 − 20)²/20 + (56 − 45)²/45 + (23 − 35)²/35
χ² = 15,42

Ответ

χ² = 15,42

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 20,09

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Таблица

χ²crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090

Ответ

χ²crit = 20,090

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology