Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Поперечное исследование одновременно сравнивает использование технологий у 20-, 40- и 60-летних. Какая проблема может исказить сравнение по возрасту?

AЭффекты тренировки
BКогортные эффекты
CЭффекты порядка
DЭффекты нижней границы

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследование обнаружило, что студенты, которые больше спят, имеют более высокие оценки. Какое изменение дизайна лучше всего позволило бы сделать причинный вывод?

AСлучайно распределить студентов по разным режимам сна
BТочнее измерять оценки
CОпросить больше студентов
DПопросить студентов дважды сообщить о своём сне и усреднить два отчёта

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 13, 14, 21, 57, 28.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 76.

μ = 100σ = 12x = 76

z =

5.ВероятностьСредняя

В мешочке 5 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

5 / 4

P =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 6p = 0,2

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0143. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0143

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 20% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 49 h, известное стандартное отклонение 9 h. Модель 2: 30 телефонов, среднее 62,5 h, известное стандартное отклонение 17 h. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 49 hσ₁ = 9 hn₂ = 30x̄₂ = 62,5 hσ₂ = 17 h90%

нижняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,7 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,01?

p ≈ 0,7E = 0,0199%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 12. Случайная выборка из 64 наблюдений имеет среднее 251,83. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ > 250. Найдите p-значение p.

μ₀ = 250σ = 12n = 64x̄ = 251,83H₁: μ > μ₀

p =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 0,590%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (10, 82). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(10, 82)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 11 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

2 × 11

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Когортные эффекты

Почему это ответ

Разные возрастные группы росли в разных исторических условиях, поэтому различия могут отражать поколение (когорту), а не само старение.

Ответ

B · Когортные эффекты

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Случайно распределить студентов по разным режимам сна

Почему это ответ

Только манипуляция сном со случайным распределением контролирует третьи переменные и позволяет сделать причинный вывод в рамках этики.

Ответ

A · Случайно распределить студентов по разным режимам сна

3.Описательная статистика

Ответ: s = 18,04

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 133/5 = 26,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−13,6)² + (−12,6)² + (−5,6)² + 30,4² + 1,4² = 1301

Стандартное отклонение

s = √(1301/4) = 18,04

Ответ

s = 18,04

4.Описательная статистика

Ответ: z = −2

Стандартизуйте

z = (76 − 100)/12 = −2

Ответ

z = −2

5.Вероятность

Ответ: P = 0,2778

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

Ответ

P = 0,2778

6.Вероятность

Ответ: P = 0,6554

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Сложите

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,19

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0143 = 0,9857

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9857 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,19

Ответ

z = 2,19

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 245,8 g

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Ответ

x = 245,8 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −19,02 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 49 − 62,5 = −13,5

Стандартная ошибка

SE = √(9²/50 + 17²/30) = 3,355

Предельная ошибка

E = 1,645·3,355 = 5,518

Интервал

−13,5 ± 5,518 → [−19,02, −7,982]

Ответ

нижняя граница = −19,02 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 13936

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,7·0,3/0,01² = 13935

Округлите вверх

n = 13936

Ответ

n = 13936

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1112

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5

z = (251,83 − 250)/1,5 = 1,22

Площадь хвоста

Φ(1,22) = 0,8888

1 − Φ(1,22) = 0,1112

p-значение

p = 0,1112

Ответ

p = 0,1112

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 174

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·4/0,5)² = 173,2

Округлите вверх

n = 174

Ответ

n = 174

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9165

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 246/5 = 49,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 392,8

Коэффициент детерминации

r² = 60²/(10·392,8) = 0,9165

Ответ

r² = 0,9165

Прямая объясняет около 91,65% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,2

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 345/5 = 69

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

Линия регрессии

b = 216/40 = 5,4

a = 69 − 5,4·7 = 31,2

ŷ = 31,2 + 5,4·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 31,2 + 5,4·10 = 85,2

Остаток

e = 82 − 85,2 = −3,2

Ответ

e = −3,2

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,7111

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 40·28/140 = 8, 40·63/140 = 18, 40·49/140 = 14

село: 100·28/140 = 20, 100·63/140 = 45, 100·49/140 = 35

Статистика хи-квадрат

χ² = (8 − 8)²/8 + (16 − 18)²/18 + (16 − 14)²/14 + (20 − 20)²/20 + (47 − 45)²/45 + (33 − 35)²/35

χ² = 0,7111

Ответ

χ² = 0,7111

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 10

Степени свободы

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Ответ

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology