Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь изучает влияние пола на результаты теста памяти. Почему это квазиэксперимент, а не истинный эксперимент?

AНП — заранее существующая характеристика, поэтому участников нельзя случайно распределить по её уровням
BИсследование проводится в лаборатории
CЗП не измеряется
DУсловий всего два, а настоящему эксперименту нужно не менее трёх уровней НП

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь проводит пять t-тестов и хочет удержать общую вероятность ошибки I рода на уровне 0,05 с помощью поправки Бонферрони. Какой уровень значимости следует использовать для каждого теста?

A0,05
B0,01
C0,25
D0,025

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 40, 58, 28, 25, 60, 50, 13.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 78?

μ = 60σ = 12x = 78

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 7 человек? Порядок не важен.

n = 7k = 4

N =

6.ВероятностьСложная

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?

n = 10p = 0,6k = 4

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9199. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9199

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 85% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 8,1. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по тем же данным?

90%n₁ = 25E₁ = 8,195%

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,6 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,04?

p ≈ 0,6E = 0,0490%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 40 деталей имеет среднюю длину 43 mm, известное стандартное отклонение линии 9 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 48,7 mm, известное стандартное отклонение 9 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 40x̄₁ = 43 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 30x̄₂ = 48,7 mmσ₂ = 9 mm

z =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 103 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 103n₂ = 250

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 49). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3, 49)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «ночная смена, незначительный».

итог по строке = 89итог по столбцу = 50N = 159

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · НП — заранее существующая характеристика, поэтому участников нельзя случайно распределить по её уровням

Почему это ответ

В квазиэксперименте НП — естественно существующее различие между людьми. Без случайного распределения другие различия между группами могут смешиваться с результатами.

Ответ

A · НП — заранее существующая характеристика, поэтому участников нельзя случайно распределить по её уровням

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · 0,01

Почему это ответ

Поправка Бонферрони делит α на число сравнений: 0,05 / 5 = 0,01. Она проста, но консервативна, что повышает риск ошибок II рода.

Ответ

B · 0,01

3.Описательная статистика

Ответ: s = 17,87

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 274/7 = 39,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,8571² + 18,86² + (−11,14)² + (−14,14)² + 20,86² + 10,86² + (−26,14)² = 1917

Стандартное отклонение

s = √(1917/6) = 17,87

Ответ

s = 17,87

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

5.Вероятность

Ответ: N = 35

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

Ответ

N = 35

6.Вероятность

Ответ: P = 0,1115

Формула Бернулли

P(X = 4) = 210·0,6⁴·0,4⁶ = 210·0,1296·0,004096 = 0,1115

Ответ

P = 0,1115

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,75

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9199)/2 = 0,9599

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9599 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,75

Ответ

z = 1,75

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 542 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,85

z из таблицы

z ≈ 1,04

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Ответ

x = 542 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 9,651

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/25) = 1,191

Новая предельная ошибка

E₂ = 8,1·1,191 = 9,651

Ответ

E₂ = 9,651

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 406

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,6·0,4/0,04² = 405,9

Округлите вверх

n = 406

Ответ

n = 406

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,622

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(9²/40 + 9²/30) = √4,725 = 2,174

Статистика критерия

z = (43 − 48,7)/2,174 = −2,622

Ответ

z = −2,622

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,456

Выборочные доли

p̂₁ = 60/200 = 0,3

p̂₂ = 103/250 = 0,412

p̂ = 163/450 = 0,3622

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3622·0,6378·(1/200 + 1/250)) = 0,0456

Статистика критерия

z = (0,3 − 0,412)/0,0456 = −2,456

Ответ

z = −2,456

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,7926

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 172/5 = 34,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 129,2

Коэффициент детерминации

r² = 32²/(10·129,2) = 0,7926

Ответ

r² = 0,7926

Прямая объясняет около 79,26% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,45

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 274/5 = 54,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Линия регрессии

b = 110/40 = 2,75

a = 54,8 − 2,75·6 = 38,3

ŷ = 38,3 + 2,75·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 38,3 + 2,75·3 = 46,55

Остаток

e = 49 − 46,55 = 2,45

Ответ

e = 2,45

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 27,99

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 89·50/159 = 27,99

Ответ

E = 27,99

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 54,41

Ожидаемые частоты

завод A: 75, 25

завод B: 30, 10

завод C: 60, 20

Статистика хи-квадрат

χ² = (98 − 75)²/75 + (2 − 25)²/25 + (26 − 30)²/30 + (14 − 10)²/10 + (41 − 60)²/60 + (39 − 20)²/20

χ² = 54,41

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

54,41 > 9,210

Ответ

χ² = 54,41

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology