Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Значение p = 0,03 означает:

AЕсли бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев
BЭффект большой
CПри имеющихся данных нулевая гипотеза верна с вероятностью лишь 3%
DРезультат воспроизведётся в 97% случаев

2.Методы исследования в психологииСложная

Проанализировав данные, исследователь пишет введение так, будто неожиданный результат был предсказан с самого начала. Это называют:

AОперационализацией
BДебрифингом
CHARKing (выдвижение гипотез после того, как результаты известны)
DКонтрбалансировкой

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 55, 57, 57, 32, 12, 29.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 85?

μ = 100σ = 10x = 85

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35

σ =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,25 и €250 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€20: p = 0,25€250: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 242,25 и 260,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,25x₂ = 260,25

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 129 h, известное стандартное отклонение 20 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 126,5 h, известное стандартное отклонение 19 h. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 129 hσ₁ = 20 hn₂ = 60x̄₂ = 126,5 hσ₂ = 19 h95%

E = h

10.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,6 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p ≈ 0,6E = 0,0290%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 100,4 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,4s = 5n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 10. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 10E = 2,599%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 299Σx² = 91Σy² = 15375Σxy = 1135

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 84?

n = 5ŷ = 84

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Если бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

Почему это ответ

Значение p — вероятность получить результаты не менее экстремальные, чем наблюдаемые, если нулевая гипотеза верна. Оно не показывает вероятность истинности гипотезы или размер эффекта.

Ответ

A · Если бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · HARKing (выдвижение гипотез после того, как результаты известны)

Почему это ответ

HARKing выдаёт разведочные результаты за подтверждающие, отчего результаты выглядят более надёжными, чем есть на самом деле. Это способствует кризису воспроизводимости.

Ответ

C · HARKing (выдвижение гипотез после того, как результаты известны)

3.Описательная статистика

Ответ: s = 18,82

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 242/6 = 40,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 14,67² + 16,67² + 16,67² + (−8,333)² + (−28,33)² + (−11,33)² = 1771

Стандартное отклонение

s = √(1771/5) = 18,82

Ответ

s = 18,82

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

5.Вероятность

Ответ: σ = 2,179

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,15 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,35 = 3,5

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,35 = 17

Дисперсия

Var(X) = 17 − 3,5² = 4,75

σ = √4,75 = 2,179

Ответ

σ = 2,179

6.Вероятность

Ответ: E(G) = 12,5 €

Чистые исходы

G: 15 (p = 0,25), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)

Математическое ожидание

E(G) = 15·0,25 + 245·0,05 − 5·0,7 = 12,5 €

Ответ

E(G) = 12,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9192

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55

z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05

Площадь между

P = Φ(2,05) − Φ(−1,55) = 0,9798 − 0,06057 = 0,9192

Ответ

P = 0,9192

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 87,38 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 баллов

Ответ

x = 87,38 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 7,338 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 129 − 126,5 = 2,5

Стандартная ошибка

SE = √(20²/50 + 19²/60) = 3,744

Предельная ошибка

E = 1,96·3,744 = 7,338

Ответ

E = 7,338 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1624

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,6·0,4/0,02² = 1624

Округлите вверх

n = 1624

Ответ

n = 1624

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,64

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Статистика критерия

t = (100,4 − 100)/0,625 = 0,64

Ответ

t = 0,64

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 107

Выразите n

n = (2,576·10/2,5)² = 106,2

Округлите вверх

n = 107

Ответ

n = 107

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9709

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1135 − 21·299/6 = 88,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 15375 − 299²/6 = 474,8

Коэффициент корреляции

r = 88,5/√(17,5·474,8) = 0,9709

Ответ

r = 0,9709

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 21,06

Средние

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 395/5 = 79

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Линия регрессии

b = 188/40 = 4,7

a = 79 − 4,7·20 = −15

ŷ = −15 + 4,7·x

Найдите x

x = (84 − (−15))/4,7 = 21,06

Ответ

x = 21,06

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 6,806

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32

сотрудники: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (23 − 24)²/24 + (17 − 24)²/24 + (40 − 32)²/32 + (37 − 36)²/36 + (43 − 36)²/36 + (40 − 48)²/48

χ² = 6,806

Ответ

χ² = 6,806

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 4,643

Ожидаемые частоты

завод A: 24, 56

завод B: 24, 56

завод C: 24, 56

Статистика хи-квадрат

χ² = (17 − 24)²/24 + (63 − 56)²/56 + (29 − 24)²/24 + (51 − 56)²/56 + (26 − 24)²/24 + (54 − 56)²/56

χ² = 4,643

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

4,643 < 5,991

Ответ

χ² = 4,643

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology