Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Поперечное исследование одновременно сравнивает использование технологий у 20-, 40- и 60-летних. Какая проблема может исказить сравнение по возрасту?

AЭффекты нижней границы
BКогортные эффекты
CЭффекты тренировки
DЭффекты порядка

2.Методы исследования в психологииСложная

В качественных исследованиях рефлексивность означает, что исследователь:

AПревращает темы в числовые данные
BИспользует случайную выборку для устранения смещения
CОсмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ
DПовторяет исследование для проверки надёжности

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 47, 55, 50, 49, 28, 47.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 63,2.

μ = 60σ = 8x = 63,2

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,15

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €3 с вероятностью 0,1 и €50 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€3: p = 0,1€50: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 62,5 и 85,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 62,5x₂ = 85,5

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 99,5 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 99,5s = 16,590%t(20) = 1,725

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 20 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 11,7 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 19 2,5 % распределения χ² лежит ниже 8,907 и 2,5 % — выше 32,852.

n = 20s = 11,7 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 500,8 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,8s = 12n = 100

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2,5 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 18. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 95%δ = 2,5σ = 18z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 118Σx² = 91Σy² = 2406Σxy = 377

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 10?

n = 6ŷ = 10

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «ночная смена, значительный».

итог по строке = 83итог по столбцу = 76N = 198

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 5 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Когортные эффекты

Почему это ответ

Разные возрастные группы росли в разных исторических условиях, поэтому различия могут отражать поколение (когорту), а не само старение.

Ответ

B · Когортные эффекты

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Осмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ

Почему это ответ

Рефлексивность признаёт влияние исследователя на сбор и интерпретацию данных и является ключевым критерием качества качественной работы.

Ответ

C · Осмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ

3.Описательная статистика

Ответ: s = 9,295

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 276/6 = 46

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1² + 9² + 4² + 3² + (−18)² + 1² = 432

Стандартное отклонение

s = √(432/5) = 9,295

Ответ

s = 9,295

4.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (63,2 − 60)/8 = 0,4

Ответ

z = 0,4

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 101

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,15 = 23

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,15 = 630

Дисперсия

Var(X) = 630 − 23² = 101

Ответ

Var(X) = 101

6.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,3 €

Чистые исходы

G: 2 (p = 0,1), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)

Математическое ожидание

E(G) = 2·0,1 + 49·0,02 − 1·0,88 = 0,3 €

Ответ

E(G) = 0,3 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5785

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25

z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Площадь между

P = Φ(2,05) − Φ(−0,25) = 0,9798 − 0,4013 = 0,5785

Ответ

P = 0,5785

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 593,1 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Ответ

x = 593,05 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,211

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Предельная ошибка

E = 1,725·16,5/√21 = 6,211

Ответ

E = 6,211

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 17,09 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 19·11,7² = 2601

Границы для σ²

2601/32,852 = 79,17

2601/8,907 = 292

Граница для σ

σ = √292 = 17,09 µm

Ответ

σ = 17,09 µm

95 % интервал для σ: [8,898, 17,09] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,6667

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Статистика критерия

t = (500,8 − 500)/1,2 = 0,6667

Ответ

t = 0,6667

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 562

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,645)·18/2,5)² = 561,1

Округлите вверх

n = 562

Ответ

n = 562

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9316

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 377 − 21·118/6 = −36

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2406 − 118²/6 = 85,33

Коэффициент корреляции

r = −36/√(17,5·85,33) = −0,9316

Ответ

r = −0,9316

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,413

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 100/6 = 16,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −61

Линия регрессии

b = −61/17,5 = −3,486

a = 16,67 − (−3,486)·3,5 = 28,87

ŷ = 28,87 − 3,486·x

Найдите x

x = (10 − 28,87)/(−3,486) = 5,413

Ответ

x = 5,413

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 31,86

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 83·76/198 = 31,86

Ответ

E = 31,86

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 7,815

Степени свободы

df = 5 − 1 − 1 = 3

Таблица

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Ответ

χ²_crit = 7,815

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology