Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Чтобы получить выборку с теми же пропорциями студентов первого, второго и третьего курсов, что и в университете, исследователь должен использовать:

AСтратифицированную выборку
BВыборку добровольцев
CДоступную выборку
DВыборку методом «снежного кома»

2.Методы исследования в психологииСложная

Два наблюдателя регистрируют агрессивные действия на игровой площадке, и их подсчёты коррелируют на уровне r = 0,45. Что должен сделать исследователь?

AИспользовать только больший из двух подсчётов
BУточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность
CПринять данные, потому что достаточно любой положительной корреляции
DПерейти к односторонней гипотезе

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 12, 48, 28, 17, 17.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 152?

μ = 170σ = 12x = 152

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 9 человек? Порядок не важен.

n = 9k = 4

N =

6.ВероятностьСложная

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 10p = 0,5k = 1

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 250 и 254,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 254,25

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 134,5 h, известное стандартное отклонение 6 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 146,5 h, известное стандартное отклонение 10 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 134,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 80x̄₂ = 146,5 hσ₂ = 10 h99%

верхняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 1,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.

n = 10s = 1,5 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 72,25 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,25s = 5n = 16

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ > 200 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 2,5. В действительности среднее равно 201,4. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 200μ = 201,4σ = 2,5n = 25α = 0,10

1 − β = %

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 11.

n = 6x = 11

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2402 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 5 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 5

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Стратифицированную выборку

Почему это ответ

Стратифицированная выборка выделяет подгруппы (страты) и случайно отбирает участников из каждой пропорционально её доле в популяции, что делает выборку более репрезентативной.

Ответ

A · Стратифицированную выборку

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Уточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность

Почему это ответ

Низкая надёжность между наблюдателями означает, что категории применяются непоследовательно. Более чёткие операциональные определения и тренировочные сеансы должны повысить согласованность до основного сбора данных.

Ответ

B · Уточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность

3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,75

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 158/6 = 26,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 9,667² + (−14,33)² + 21,67² + 1,667² + (−9,333)² + (−9,333)² = 945,3

Стандартное отклонение

s = √(945,3/5) = 13,75

Ответ

s = 13,75

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

5.Вероятность

Ответ: N = 126

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Ответ

N = 126

6.Вероятность

Ответ: P = 0,009766

Формула Бернулли

P(X = 1) = 10·0,5¹·0,5⁹ = 10·0,5·0,001953 = 0,009766

Ответ

P = 0,009766

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3023

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (254,25 − 250)/5 = 0,85

Площадь между

P = Φ(0,85) − Φ(0) = 0,8023 − 0,5 = 0,3023

Ответ

P = 0,3023

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −8,223 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 134,5 − 146,5 = −12

Стандартная ошибка

SE = √(6²/40 + 10²/80) = 1,466

Предельная ошибка

E = 2,576·1,466 = 3,777

Интервал

−12 ± 3,777 → [−15,78, −8,223]

Ответ

верхняя граница = −8,223 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 1,032 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 9·1,5² = 20,25

Границы для σ²

20,25/19,023 = 1,065

20,25/2,7 = 7,5

Граница для σ

σ = √1,065 = 1,032 µm

Ответ

σ = 1,032 µm

95 % интервал для σ: [1,032, 2,739] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Статистика критерия

t = (72,25 − 75)/1,25 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 93,55 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 200 + 1,282·0,5 = 200,6

z при истинном среднем

z = (200,6 − 201,4)/0,5 = −1,518

Мощность

мощность = P(Z > −1,518) = 93,55%

1 − β = 93,55%

Ответ

1 − β = 93,55%

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9709

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 87/6 = 14,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 193,5

Коэффициент корреляции

r = −56,5/√(17,5·193,5) = −0,9709

Ответ

r = −0,9709

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 27,16

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 104/6 = 17,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

Линия регрессии

b = 172/70 = 2,457

a = 17,33 − 2,457·7 = 0,1333

ŷ = 0,1333 + 2,457·x

Прогноз

ŷ = 0,1333 + 2,457·11 = 27,16

Ответ

ŷ = 27,16

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 20,4

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 120·120/240 = 60, 120·60/240 = 30, 120·60/240 = 30

село: 120·120/240 = 60, 120·60/240 = 30, 120·60/240 = 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (52 − 60)²/60 + (23 − 30)²/30 + (45 − 30)²/30 + (68 − 60)²/60 + (37 − 30)²/30 + (15 − 30)²/30

χ² = 20,4

Ответ

χ² = 20,4

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 4

Степени свободы

df = 5 − 1 = 4

Ответ

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology