Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследованию, проведённому только на американских студентах бакалавриата, может недоставать:

AСодержательной валидности
BВнутренней согласованности
CПопуляционной валидности
DМежэкспертной надёжности

2.Методы исследования в психологииСложная

Факультет психологии набирает участников только из вводных курсов психологии. Критики называют такие выборки «WEIRD». Что это означает?

AВыборки, набранные взвешенными случайными методами
BВыборки, рано выбывающие из исследований
CВыборки, необычно странные в своём поведении
DЗападные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 55, 56, 53, 27, 30, 42, 55.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 155,6.

μ = 170σ = 12x = 155,6

z =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 14 человек? Порядок не важен.

n = 14k = 3

N =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,2, 0,25Y = 5X + 10

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 30,2 и 38 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,2x₂ = 38

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 40% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

9.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 1,1. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по 100 наблюдениям?

90%n₁ = 50E₁ = 1,195%n₂ = 100

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p = 0,5E = 0,0290%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 200,5 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,5s = 4n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 390%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 22?

n = 5ŷ = 22

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 6 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 6

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Популяционной валидности

Почему это ответ

Популяционная валидность — вид внешней валидности. Выборки, состоящие в основном из молодых, западных и образованных людей, могут не представлять других людей.

Ответ

C · Популяционной валидности

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Западные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться

Почему это ответ

Хенрих и коллеги отметили, что большинство участников психологических исследований происходят из обществ WEIRD, которые нерепрезентативны для человечества в целом, что угрожает популяционной валидности.

Ответ

D · Западные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться

3.Описательная статистика

Ответ: s = 12,53

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 318/7 = 45,43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 9,571² + 10,57² + 7,571² + (−18,43)² + (−15,43)² + (−3,429)² + 9,571² = 941,7

Стандартное отклонение

s = √(941,7/6) = 12,53

Ответ

s = 12,53

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (155,6 − 170)/12 = −1,2

Ответ

z = −1,2

5.Вероятность

Ответ: N = 364

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Ответ

N = 364

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 5,974

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,35, Var(X) = 1,427, σ_X = 1,195

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·1,195 = 5,974

Ответ

σ_Y = 5,974

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,35 + 10 = 21,75.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4593

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Площадь между

P = Φ(1) − Φ(−0,3) = 0,8413 − 0,3821 = 0,4593

Ответ

P = 0,4593

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 179,8 cm

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,6

z из таблицы

z ≈ 0,25

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Ответ

x = 179,8 cm

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 0,9268

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(50/100) = 0,8425

Новая предельная ошибка

E₂ = 1,1·0,8425 = 0,9268

Ответ

E₂ = 0,9268

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691

Округлите вверх

n = 1692

Ответ

n = 1692

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,125

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Статистика критерия

t = (200,5 − 200)/0,4444 = 1,125

Ответ

t = 1,125

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 5

Выразите n

n = (1,645·4/3)² = 4,811

Округлите вверх

n = 5

Ответ

n = 5

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,963

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 339/5 = 67,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1167

Коэффициент детерминации

r² = 318²/(90·1167) = 0,963

Ответ

r² = 0,963

Прямая объясняет около 96,3% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 1

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 103/5 = 20,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −7

Линия регрессии

b = −7/10 = −0,7

a = 20,6 − (−0,7)·3 = 22,7

ŷ = 22,7 − 0,7·x

Найдите x

x = (22 − 22,7)/(−0,7) = 1

Ответ

x = 1

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 16,89

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 100·32/160 = 20, 100·48/160 = 30, 100·80/160 = 50

село: 60·32/160 = 12, 60·48/160 = 18, 60·80/160 = 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (26 − 20)²/20 + (19 − 30)²/30 + (55 − 50)²/50 + (6 − 12)²/12 + (29 − 18)²/18 + (25 − 30)²/30

χ² = 16,89

Ответ

χ² = 16,89

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 5

Степени свободы

df = 6 − 1 = 5

Ответ

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology