Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Почему категории поведения при наблюдении операционализируют до сбора данных?

AЧтобы гипотезу можно было изменить после просмотра данных
BЧтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность
CЧтобы участники точно знали, что регистрируется
DЧтобы наблюдение превратилось в эксперимент

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь собирает данные в девяти временных точках и каждый раз проверяет на уровне 5% без поправки. В чём проблема?

AРазмер эффекта уменьшается с каждым тестом
BВероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%
CДанные с каждым разом становятся надёжнее, поэтому итоговый тест самый точный
DУ такого подхода нет проблем

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 59, 34, 54, 48, 14, 47, 20.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 66?

μ = 60σ = 15x = 66

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,3, 0,25, 0,35

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,25

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 95,4 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95,4 s

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 60% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов60%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 11,7. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 16 наблюдениям?

95%n₁ = 64E₁ = 11,790%n₂ = 16

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 10E = 295%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 43,4 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 43,4s = 15n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 2,590%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 128Σx² = 220Σy² = 3992Σxy = 936

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 9?

n = 6ŷ = 9

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2402 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 9 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Чтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность

Почему это ответ

Чёткие наблюдаемые категории (например, «бьёт открытой ладонью») уменьшают субъективность суждений и повышают надёжность между наблюдателями.

Ответ

B · Чтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Вероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

Почему это ответ

При девяти независимых тестах вероятность хотя бы одной ошибки I рода составляет примерно 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Для этого применяют поправки, например Бонферрони.

Ответ

B · Вероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

3.Описательная статистика

Ответ: s = 17,22

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 276/7 = 39,43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 19,57² + (−5,429)² + 14,57² + 8,571² + (−25,43)² + 7,571² + (−19,43)² = 1780

Стандартное отклонение

s = √(1780/6) = 17,22

Ответ

s = 17,22

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 4,11

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,1 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,35 = 3,7

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,1 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,35 = 17,8

Дисперсия

Var(X) = 17,8 − 3,7² = 4,11

Ответ

Var(X) = 4,11

6.Вероятность

Ответ: P = 0,4449

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,75⁷ = 0,1335

P(X = 1) = 7·0,25·0,75⁶ = 0,3115

Сложите

P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449

Ответ

P = 0,4449

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9332

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 103,8 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,6

z из таблицы

z ≈ 0,25

Возврат к исходным единицам

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 баллов

Ответ

x = 103,8 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 19,64

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(64/16) = 1,679

Новая предельная ошибка

E₂ = 11,7·1,679 = 19,64

Ответ

E₂ = 19,64

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 97

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·10/2)² = 96,04

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 97

Ответ

n = 97

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Статистика критерия

t = (43,4 − 50)/3 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 11

Выразите n

n = (1,645·5/2,5)² = 10,82

Округлите вверх

n = 11

Ответ

n = 11

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9933

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 936 − 30·128/5 = 168

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3992 − 128²/5 = 715,2

Коэффициент корреляции

r = 168/√(40·715,2) = 0,9933

Ответ

r = 0,9933

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,05

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 97/6 = 16,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127

Линия регрессии

b = 127/70 = 1,814

a = 16,17 − 1,814·7 = 3,467

ŷ = 3,467 + 1,814·x

Найдите x

x = (9 − 3,467)/1,814 = 3,05

Ответ

x = 3,05

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 27,78

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 120·144/240 = 72, 120·96/240 = 48

женщины: 120·144/240 = 72, 120·96/240 = 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (92 − 72)²/72 + (28 − 48)²/48 + (52 − 72)²/72 + (68 − 48)²/48

χ² = 27,78

Ответ

χ² = 27,78

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 20,09

Степени свободы

df = 9 − 1 = 8

Таблица

χ²_crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090

Ответ

χ²_crit = 20,090

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology