Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Требования ситуации (demand characteristics) — это:

AПодсказки, из-за которых участники догадываются о цели и меняют поведение
BХарактеристики выборки
CСтатистические требования теста
DОфициальные требования этического комитета, которые нужно выполнить до начала исследования

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь обнаруживает, что продажи мороженого и случаи гибели утопающих положительно коррелируют. Какое объяснение наиболее правдоподобно?

AУтопления увеличивают продажи мороженого
BЖаркая погода увеличивает и продажи мороженого, и количество купающихся
CКорреляция обязательно является ошибкой вычислений
DМороженое вызывает утопление

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 33, 21, 32, 59.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 37,5?

μ = 60σ = 15x = 37,5

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,2, 0,2, 0,25Y = 10X + 4

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 8 из них меньше 200,7 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8< 200.7 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 43 и стандартное отклонение s = 6. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 43s = 699%t(9) = 3,25

нижняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 15. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?

σ = 15E = 595%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 193,1 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 193,1s = 20n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 123. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 123σ = 12n = 6490%

L =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Подсказки, из-за которых участники догадываются о цели и меняют поведение

Почему это ответ

Когда участники догадываются о гипотезе, они могут вести себя так, чтобы её подтвердить или сорвать, что угрожает валидности. Это уменьшают обман и слепые методы.

Ответ

A · Подсказки, из-за которых участники догадываются о цели и меняют поведение

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Жаркая погода увеличивает и продажи мороженого, и количество купающихся

Почему это ответ

Обе величины вызывает третья переменная — температура. Это показывает, почему одна лишь корреляция не может доказать причинность.

Ответ

B · Жаркая погода увеличивает и продажи мороженого, и количество купающихся

3.Описательная статистика

Ответ: s = 15,25

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 195/5 = 39

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11² + (−6)² + (−18)² + (−7)² + 20² = 930

Стандартное отклонение

s = √(930/4) = 15,25

Ответ

s = 15,25

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,6475

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсия

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Ответ

Var(X) = 0,6475

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 15,64

Разброс X

μ = 2,05, Var(X) = 2,448, σ_X = 1,564

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·1,564 = 15,64

Ответ

σ_Y = 15,64

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·2,05 + 4 = 24,5.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6879

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 200 kg, σ_T = 0,5·√8 = 1,414 kg

Стандартизуйте

z = (200,7 − 200)/1,414 = 0,49

Вероятность

P = Φ(0,49) = 0,6879

Ответ

P = 0,6879

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 58,26 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 баллов

Ответ

x = 58,26 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 36,83

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Предельная ошибка

E = 3,25·6/√10 = 6,166

Интервал

43 ± 6,166 → [36,83, 49,17]

Ответ

нижняя граница = 36,83

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 35

Выразите n

n = (1,96·15/5)² = 34,57

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 35

Ответ

n = 35

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,105

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерия

t = (193,1 − 200)/2,222 = −3,105

Ответ

t = −3,105

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 120,5

Предельная ошибка

E = 1,645·12/√64 = 2,468

Граница интервала

L = 123 − 2,468 = 120,5

Ответ

L = 120,5

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9606

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 303/5 = 60,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 413,2

Коэффициент детерминации

r² = 126²/(40·413,2) = 0,9606

Ответ

r² = 0,9606

Прямая объясняет около 96,06% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 21,88

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 115/6 = 19,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47,5

Линия регрессии

b = −47,5/17,5 = −2,714

a = 19,17 − (−2,714)·3,5 = 28,67

ŷ = 28,67 − 2,714·x

Прогноз

ŷ = 28,67 + (−2,714)·2,5 = 21,88

Ответ

ŷ = 21,88

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,4396

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 80·56/160 = 28, 80·104/160 = 52

некурящие: 80·56/160 = 28, 80·104/160 = 52

Статистика хи-квадрат

χ² = (26 − 28)²/28 + (54 − 52)²/52 + (30 − 28)²/28 + (50 − 52)²/52

χ² = 0,4396

Ответ

χ² = 0,4396

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 31,88

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 56, 24

возраст 31–50: 42, 18

возраст 51+: 42, 18

Статистика хи-квадрат

χ² = (39 − 56)²/56 + (41 − 24)²/24 + (55 − 42)²/42 + (5 − 18)²/18 + (46 − 42)²/42 + (14 − 18)²/18

χ² = 31,88

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

31,88 > 5,991

Ответ

χ² = 31,88

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology