Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Новый опросник депрессии предсказывает, кто из студентов обратится за лечением в течение следующего года. Это подтверждает какой вид валидности?

AТекущую (конкурентную) валидность
BОчевидную (внешнюю) валидность
CПрогностическую валидность
DСодержательную валидность

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь хочет проверить, приводит ли новый метод обучения к лучшим оценкам, но не может рандомизировать студентов. Какая схема в этой ситуации даёт наиболее сильные свидетельства причинности?

AСравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения
BИзмерение только класса, обучавшегося новым методом, после обучения
CОпрос студентов о том, считают ли они, что метод сработал
DКорреляция оценок с тем, насколько студентам нравится преподаватель

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 12, 23, 18, 44, 39, 25, 40.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 53?

μ = 50σ = 5x = 53

P =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 2 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 2

P =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,6

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 111,4 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 93,5 и стандартное отклонение s = 18,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 93,5s = 18,595%t(20) = 2,086

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 23. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?

σ = 23E = 599%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 104,7 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,7s = 20n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 11. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 2σ = 11z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5, 22). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5, 22)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 4 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Прогностическую валидность

Почему это ответ

Прогностическая валидность подтверждается, когда результаты предсказывают более поздний критерий. Текущая валидность использует критерий, измеренный одновременно.

Ответ

C · Прогностическую валидность

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

Почему это ответ

Схема с неэквивалентными группами и измерениями до и после контролирует исходные различия и изменения во времени, хотя она слабее рандомизированного эксперимента.

Ответ

A · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

3.Описательная статистика

Ответ: s = 12,3

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 201/7 = 28,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,71)² + (−5,714)² + (−10,71)² + 15,29² + 10,29² + (−3,714)² + 11,29² = 907,4

Стандартное отклонение

s = √(907,4/6) = 12,3

Ответ

s = 12,3

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Ответ

P = 0,7257

5.Вероятность

Ответ: P = 0,3056

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Ответ

P = 0,3056

6.Вероятность

Ответ: P = 0,003801

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4⁹ = 0,0002621

P(X = 1) = 9·0,6·0,4⁸ = 0,003539

Сложите

P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801

Ответ

P = 0,003801

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 246,6 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Ответ

x = 246,63 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 8,421

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Предельная ошибка

E = 2,086·18,5/√21 = 8,421

Ответ

E = 8,421

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 141

Выразите n

n = (2,576·23/5)² = 140,4

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 141

Ответ

n = 141

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,115

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерия

t = (104,7 − 100)/2,222 = 2,115

Ответ

t = 2,115

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 188

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·11/2)² = 187,1

Округлите вверх

n = 188

Ответ

n = 188

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,952

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 198/5 = 39,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 397,2

Коэффициент корреляции

r = 120/√(40·397,2) = 0,952

Ответ

r = 0,952

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,662

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 157/6 = 26,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239

Линия регрессии

b = 239/70 = 3,414

a = 26,17 − 3,414·7 = 2,267

ŷ = 2,267 + 3,414·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 2,267 + 3,414·5 = 19,34

Остаток

e = 22 − 19,34 = 2,662

Ответ

e = 2,662

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,969

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 40·36/120 = 12, 40·36/120 = 12, 40·48/120 = 16

село: 80·36/120 = 24, 80·36/120 = 24, 80·48/120 = 32

Статистика хи-квадрат

χ² = (9 − 12)²/12 + (12 − 12)²/12 + (19 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (24 − 24)²/24 + (29 − 32)²/32

χ² = 1,969

Ответ

χ² = 1,969

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 9,21

Степени свободы

df = 4 − 1 − 1 = 2

Таблица

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Ответ

χ²_crit = 9,210

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology