Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Ошибка I рода возникает, когда исследователь:

AОтвергает нулевую гипотезу, которая на самом деле верна
BИспользует не тот статистический тест
CНе отвергает ложную нулевую гипотезу
DСобирает слишком много данных

2.Методы исследования в психологииСложная

В исследовании памяти используется схема повторных измерений, в которой все сначала заучивают список A, а затем список B. Список B припоминается лучше. Каков наиболее вероятный недостаток?

AСлишком большой объём выборки
BЭффекты порядка, например тренировки, поскольку условия не были контрбалансированы
CИндивидуальные различия между группами
DИспользование порядковой шкалы измерения

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 32, 30, 32, 27, 30, 48, 44.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 62,5.

μ = 70σ = 5x = 62,5

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,35

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05Y = 10X + 4

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9861. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9861

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 40% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов40%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 96,5 и стандартное отклонение s = 3,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 96,5s = 3,595%t(14) = 2,145

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 9. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 9E = 1,595%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 200,8 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,8s = 4n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 399%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 99?

n = 5ŷ = 99

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Отвергает нулевую гипотезу, которая на самом деле верна

Почему это ответ

Ошибка I рода утверждает эффект, которого нет. Её вероятность равна уровню значимости (часто 0,05). Ошибка II рода — пропуск реального эффекта.

Ответ

A · Отвергает нулевую гипотезу, которая на самом деле верна

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Эффекты порядка, например тренировки, поскольку условия не были контрбалансированы

Почему это ответ

Когда все участники проходят условия в одном порядке, улучшение может отражать тренировку, а не список. Контрбалансировка (ABBA или половина AB, половина BA) контролирует это.

Ответ

B · Эффекты порядка, например тренировки, поскольку условия не были контрбалансированы

3.Описательная статистика

Ответ: s = 7,973

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 243/7 = 34,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−2,714)² + (−4,714)² + (−2,714)² + (−7,714)² + (−4,714)² + 13,29² + 9,286² = 381,4

Стандартное отклонение

s = √(381,4/6) = 7,973

Ответ

s = 7,973

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (62,5 − 70)/5 = −1,5

Ответ

z = −1,5

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,89

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,9

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,35 = 9,3

Дисперсия

Var(X) = 9,3 − 2,9² = 0,89

Ответ

Var(X) = 0,89

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 18,19

Разброс X

μ = 2,3, Var(X) = 3,31, σ_X = 1,819

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·1,819 = 18,19

Ответ

σ_Y = 18,19

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·2,3 + 4 = 27.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = −2,2

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9861 = 0,0139

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0139 внутри таблицы и считайте z.

z = −2,20

Ответ

z = −2,20

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 96,3 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,4

z из таблицы

z ≈ −0,25

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 баллов

Ответ

x = 96,3 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 98,44

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Предельная ошибка

E = 2,145·3,5/√15 = 1,938

Интервал

96,5 ± 1,938 → [94,56, 98,44]

Ответ

верхняя граница = 98,44

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 139

Выразите n

n = (1,96·9/1,5)² = 138,3

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 139

Ответ

n = 139

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,6

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Статистика критерия

t = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6

Ответ

t = 1,6

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 295

Выразите n

n = (2,576·20/3)² = 294,9

Округлите вверх

n = 295

Ответ

n = 295

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9449

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 267/5 = 53,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 533,2

Коэффициент корреляции

r = 138/√(40·533,2) = 0,9449

Ответ

r = 0,9449

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 24,45

Средние

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 460/5 = 92

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 435

Линия регрессии

b = 435/90 = 4,833

a = 92 − 4,833·23 = −19,17

ŷ = −19,17 + 4,833·x

Найдите x

x = (99 − (−19,17))/4,833 = 24,45

Ответ

x = 24,45

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 7,344

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48

сотрудники: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32

Статистика хи-квадрат

χ² = (33 − 36)²/36 + (30 − 36)²/36 + (57 − 48)²/48 + (27 − 24)²/24 + (30 − 24)²/24 + (23 − 32)²/32

χ² = 7,344

Ответ

χ² = 7,344

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 9,028

Ожидаемые частоты

линия 1: 60, 40

линия 2: 36, 24

линия 3: 24, 16

Статистика хи-квадрат

χ² = (50 − 60)²/60 + (50 − 40)²/40 + (40 − 36)²/36 + (20 − 24)²/24 + (30 − 24)²/24 + (10 − 16)²/16

χ² = 9,028

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

9,028 < 9,210

Ответ

χ² = 9,028

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology