Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Значение p = 0,03 означает:

AЕсли бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев
BРезультат воспроизведётся в 97% случаев
CПри имеющихся данных нулевая гипотеза верна с вероятностью лишь 3%
DЭффект большой

2.Методы исследования в психологииСложная

В качественных исследованиях рефлексивность означает, что исследователь:

AОсмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ
BПревращает темы в числовые данные
CПовторяет исследование для проверки надёжности
DИспользует случайную выборку для устранения смещения

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 39, 32, 26, 13, 22, 41.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 160.

μ = 170σ = 5x = 160

z =

5.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 8 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 8

P =

6.ВероятностьСложная

В тесте 6 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 6p = 0,7k = 1

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 442 и 542 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 542

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 137 h, известное стандартное отклонение 5 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 125,5 h, известное стандартное отклонение 14 h. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 137 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 125,5 hσ₂ = 14 h90%

нижняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 6 участков, средний урожай 26,5 kg, стандартное отклонение 2 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 19,5 kg, стандартное отклонение 9 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 26,5s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 19,5s₂ = 990%t(10) = 1,812

нижняя граница = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 12. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 81,84. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ ≠ 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 12n = 36x̄ = 81,84H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 96. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 96σ = 12n = 8190%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 165Σx² = 364Σy² = 5359Σxy = 1394

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 73?

n = 6ŷ = 73

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 4 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Если бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

Почему это ответ

Значение p — вероятность получить результаты не менее экстремальные, чем наблюдаемые, если нулевая гипотеза верна. Оно не показывает вероятность истинности гипотезы или размер эффекта.

Ответ

A · Если бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Осмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ

Почему это ответ

Рефлексивность признаёт влияние исследователя на сбор и интерпретацию данных и является ключевым критерием качества качественной работы.

Ответ

A · Осмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ

3.Описательная статистика

Ответ: s = 10,65

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 173/6 = 28,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 10,17² + 3,167² + (−2,833)² + (−15,83)² + (−6,833)² + 12,17² = 566,8

Стандартное отклонение

s = √(566,8/5) = 10,65

Ответ

s = 10,65

4.Описательная статистика

Ответ: z = −2

Стандартизуйте

z = (160 − 170)/5 = −2

Ответ

z = −2

5.Вероятность

Ответ: P = 0,2

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0,2

Ответ

P = 0,2

6.Вероятность

Ответ: P = 0,01021

Формула Бернулли

P(X = 1) = 6·0,7¹·0,3⁵ = 6·0,7·0,00243 = 0,01021

Ответ

P = 0,01021

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7796

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (542 − 500)/40 = 1,05

Площадь между

P = Φ(1,05) − Φ(−1,45) = 0,8531 − 0,07353 = 0,7796

Ответ

P = 0,7796

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 8,255 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 137 − 125,5 = 11,5

Стандартная ошибка

SE = √(5²/40 + 14²/60) = 1,973

Предельная ошибка

E = 1,645·1,973 = 3,245

Интервал

11,5 ± 3,245 → [8,255, 14,75]

Ответ

нижняя граница = 8,255 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 0,1799 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (5·2² + 5·9²)/10 = 42,5

s_p = 6,519

Предельная ошибка

E = 1,812·6,519·√(1/6 + 1/6) = 6,82

Интервал

7 ± 6,82 → [0,1799, 13,82]

Ответ

нижняя граница = 0,1799 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,3576

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (81,84 − 80)/2 = 0,92

Площадь хвоста

Φ(0,92) = 0,8212

1 − Φ(0,92) = 0,1788

p-значение

p = 2·0,1788 = 0,3576

Ответ

p = 0,3576

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 98,19

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·12/√81 = 2,193

Граница интервала

U = 96 + 2,193 = 98,19

Ответ

U = 98,19

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9967

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1394 − 42·165/6 = 239

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 5359 − 165²/6 = 821,5

Коэффициент корреляции

r = 239/√(70·821,5) = 0,9967

Ответ

r = 0,9967

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,068

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 490/6 = 81,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 314

Линия регрессии

b = 314/70 = 4,486

a = 81,67 − 4,486·7 = 50,27

ŷ = 50,27 + 4,486·x

Найдите x

x = (73 − 50,27)/4,486 = 5,068

Ответ

x = 5,068

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,5

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 80·72/120 = 48, 80·48/120 = 32

некурящие: 40·72/120 = 24, 40·48/120 = 16

Статистика хи-квадрат

χ² = (44 − 48)²/48 + (36 − 32)²/32 + (28 − 24)²/24 + (12 − 16)²/16

χ² = 2,5

Ответ

χ² = 2,5

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 12,59

Степени свободы

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Таблица

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Ответ

χ²_crit = 12,592

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology