Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какой примерно процент значений нормального распределения лежит в пределах одного стандартного отклонения от среднего?

  1. A68%
  2. B95%
  3. C50%
  4. D99,7%
2.Методы исследования в психологииСложная

Исследование на 10 участниках обнаруживает большой, но незначимый эффект. Какой вывод наиболее уместен?

  1. AИсследованию, возможно, не хватило статистической мощности, поэтому результат неубедителен
  2. BВеличина эффекта обязательно рассчитана неверно
  3. CЭффект обязательно является ошибкой I рода
  4. DИсследование доказывает, что нулевая гипотеза верна, так как эффект был незначим
3.Описательная статистикаСредняя
2025303540455055

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 19, 45, 49, 57, 18.

n = 6
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 75. Какая доля P значений больше 350?

μ = 500σ = 75x = 350
P =
5.ВероятностьСредняя
P(хотя бы одна шестёрка) = ??1?2?3?4?5P(шестёрка) = 1/6 при каждом броске

Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 5
P =
6.ВероятностьСложная
n = 9, p = 0,7: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,7. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,7
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
22,744P = ?

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 22,7 и 44 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x1 = 22,7x2 = 44
P =
8.Нормальное распределениеСложная
235240245250255260265gверх 70%

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 70% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g70%
x = g
9.Доверительные интервалыСредняя
n = 20, sd​ = 3,40L = ?Ud̄ = −5,8E95%

У 20 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −5,8 и стандартное отклонение 3,4. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.

n = 20d̄ = −5,8sd = 3,495%t(19) = 2,093
нижняя граница = mmHg
10.Доверительные интервалыСложная
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 26. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 26E = 190%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,1792,179t = ?df = 12

13 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −7,71, стандартное отклонение разностей — 10,3. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.

n = 13d̄ = −7,71sd = 10,3
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −2,57602,576

Выборка из 81 измерений имеет среднее 99,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 99,4σ = 5n = 8199%
U =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy340453558662771xy4640506070

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5
r² =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy125222320418514613xy246152025x = 4,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 20). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 20)
e =
15.Критерии хи-квадратСредняя
кашельнет кашляИтогокурящие372360некурящие334780Итого7070140

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 2
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 4 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4
df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · 68%

Почему это ответ

Около 68% значений попадает в пределы ±1 SD, около 95% — в пределы ±2 SD и около 99,7% — в пределы ±3 SD.

Ответ

A · 68%
2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Исследованию, возможно, не хватило статистической мощности, поэтому результат неубедителен

Почему это ответ

На малых выборках даже реальные эффекты часто не достигают значимости (ошибка II рода). Исследователям следует указать величину эффекта и доверительный интервал и повторить исследование на большей выборке.

Ответ

A · Исследованию, возможно, не хватило статистической мощности, поэтому результат неубедителен
3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,85

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 238/6 = 39,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 10,33² + (−20,67)² + 5,333² + 9,333² + 17,33² + (−21,67)² = 1419

Стандартное отклонение

s = √(1419/5) = 16,85

Ответ

s = 16,85
4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Ответ

P = 0,9772
5.Вероятность

Ответ: P = 0,5981

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Ответ

P = 0,5981
6.Вероятность

Ответ: P = 0,000433

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133

Сложите

P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433

Ответ

P = 0,000433
7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9167

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55
z₂ = (44 − 32)/6 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−1,55) = 0,9772 − 0,06057 = 0,9167

Ответ

P = 0,9167
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 247,4 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,3

z из таблицы

z ≈ −0,52

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Ответ

x = 247,4 g
9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −7,391 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 19, t = 2,093

Предельная ошибка

E = 2,093·3,4/√20 = 1,591

Интервал

−5,8 ± 1,591 → [−7,391, −4,209]

Ответ

нижняя граница = −7,391 mmHg
10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1830

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·26/1)² = 1829

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1830

Ответ

n = 1830
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,699

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 10,3/√13 = 2,857

Статистика критерия

t = −7,71/2,857 = −2,699

Ответ

t = −2,699

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 100,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·5/√81 = 1,431

Граница интервала

U = 99,4 + 1,431 = 100,8

Ответ

U = 100,8
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9569

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 284/5 = 56,8

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71
Syy = Σ(y − ȳ)² = 526,8

Коэффициент детерминации

r² = 71²/(10·526,8) = 0,9569

Ответ

r² = 0,9569

Прямая объясняет около 95,69% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,79

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43

Линия регрессии

b = −43/17,5 = −2,457
a = 18,67 − (−2,457)·3,5 = 27,27
ŷ = 27,27 − 2,457·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 27,27 + (−2,457)·4,5 = 16,21

Остаток

e = 20 − 16,21 = 3,79

Ответ

e = 3,79

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5,717

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 60·70/140 = 30, 60·70/140 = 30
некурящие: 80·70/140 = 40, 80·70/140 = 40

Статистика хи-квадрат

χ² = (37 − 30)²/30 + (23 − 30)²/30 + (33 − 40)²/40 + (47 − 40)²/40
χ² = 5,717

Ответ

χ² = 5,717

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 3

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 4 − 1 = 3

Ответ

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology