Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследованию, проведённому только на американских студентах бакалавриата, может недоставать:

AСодержательной валидности
BМежэкспертной надёжности
CПопуляционной валидности
DВнутренней согласованности

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследовательница сравнивает три или более групповых средних. Почему она использует однофакторный дисперсионный анализ, а не несколько t-критериев?

AНесколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода
BДисперсионный анализ всегда находит более крупные эффекты, чем эквивалентный набор t-критериев
Ct-критериям нужны качественные данные
Dt-критерии не работают с числами больше 100

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 57, 60, 17, 33, 56.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 54?

μ = 70σ = 8x = 54

P =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 6

P =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 172,75 и 188,5 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,75x₂ = 188,5

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 26,5 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 26,5s = 1595%t(15) = 2,131

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 12. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 12E = 499%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 73,9 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,9s = 4n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 0,599%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 99Σx² = 55Σy² = 2023Σxy = 273

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 50). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3, 50)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «сотрудники, автомобиль».

итог по строке = 62итог по столбцу = 48N = 159

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Популяционной валидности

Почему это ответ

Популяционная валидность — вид внешней валидности. Выборки, состоящие в основном из молодых, западных и образованных людей, могут не представлять других людей.

Ответ

C · Популяционной валидности

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Несколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода

Почему это ответ

Много попарных тестов умножают шанс ложноположительного результата. ANOVA проверяет все группы вместе, после чего проводят скорректированные post hoc тесты.

Ответ

A · Несколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода

3.Описательная статистика

Ответ: s = 18,82

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 223/5 = 44,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 12,4² + 15,4² + (−27,6)² + (−11,6)² + 11,4² = 1417

Стандартное отклонение

s = √(1417/4) = 18,82

Ответ

s = 18,82

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

5.Вероятность

Ответ: P = 0,6651

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Ответ

P = 0,6651

6.Вероятность

Ответ: P = 0,0625

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁷ = 0,007813

P(X = 1) = 7·0,5·0,5⁶ = 0,05469

Сложите

P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625

Ответ

P = 0,0625

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7066

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

Площадь между

P = Φ(1,5) − Φ(−0,75) = 0,9332 − 0,2266 = 0,7066

Ответ

P = 0,7066

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8554

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554

Ответ

P = 0,8554

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 7,991

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Предельная ошибка

E = 2,131·15/√16 = 7,991

Ответ

E = 7,991

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 60

Выразите n

n = (2,576·12/4)² = 59,72

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 60

Ответ

n = 60

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Статистика критерия

t = (73,9 − 75)/0,5 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 425

Выразите n

n = (2,576·4/0,5)² = 424,7

Округлите вверх

n = 425

Ответ

n = 425

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9577

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 273 − 15·99/5 = −24

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2023 − 99²/5 = 62,8

Коэффициент корреляции

r = −24/√(10·62,8) = −0,9577

Ответ

r = −0,9577

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −5,043

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 441/6 = 73,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 323

Линия регрессии

b = 323/70 = 4,614

a = 73,5 − 4,614·7 = 41,2

ŷ = 41,2 + 4,614·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 41,2 + 4,614·3 = 55,04

Остаток

e = 50 − 55,04 = −5,043

Ответ

e = −5,043

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 18,72

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 62·48/159 = 18,72

Ответ

E = 18,72

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 4,813

Ожидаемые частоты

завод A: 40, 60

завод B: 40, 60

завод C: 16, 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (47 − 40)²/40 + (53 − 60)²/60 + (38 − 40)²/40 + (62 − 60)²/60 + (11 − 16)²/16 + (29 − 24)²/24

χ² = 4,813

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

4,813 < 5,991

Ответ

χ² = 4,813

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology