Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Альфа Кронбаха 0,88 для шкалы тревожности из 15 пунктов указывает на:

AТо, что шкала хорошо предсказывает будущую тревожность
BХорошую внутреннюю согласованность пунктов
CУстойчивость результатов в течение шести месяцев
DЗначимое влияние шкалы на тревожность

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь проводит 20 анализов на одном наборе данных и сообщает только тот, где p < 0,05. Эта практика называется:

AP-hacking
BКонтрбалансировка
CТриангуляция
DПредварительная регистрация

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 19, 60, 42, 18, 59, 45.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений больше 400?

μ = 500σ = 100x = 400

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 10 человек? Порядок не важен.

n = 10k = 2

N =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €5 с вероятностью 0,25 и €10 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€5: p = 0,25€10: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 50 и 85 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 85

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 63,5 h, известное стандартное отклонение 16 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 58 h, известное стандартное отклонение 15 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 63,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 58 hσ₂ = 15 h99%

нижняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 40. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 40E = 0,590%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 47,52 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,52s = 4n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 27. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 4σ = 27z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 5 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 5

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Хорошую внутреннюю согласованность пунктов

Почему это ответ

Альфа Кронбаха оценивает внутреннюю согласованность; значения около 0,7 и выше обычно считаются приемлемыми. Сама по себе она не доказывает валидность.

Ответ

B · Хорошую внутреннюю согласованность пунктов

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · P-hacking

Почему это ответ

P-hacking использует гибкость анализа для получения значимости, поднимая долю ложноположительных результатов значительно выше 5%. Предварительная регистрация и прозрачная отчётность уменьшают его.

Ответ

A · P-hacking

3.Описательная статистика

Ответ: s = 18,51

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 243/6 = 40,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−21,5)² + 19,5² + 1,5² + (−22,5)² + 18,5² + 4,5² = 1714

Стандартное отклонение

s = √(1714/5) = 18,51

Ответ

s = 18,51

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

5.Вероятность

Ответ: N = 45

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Ответ

N = 45

6.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,45 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 4 (p = 0,25), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)

Математическое ожидание

E(G) = 4·0,25 + 9·0,02 − 1·0,73 = 0,45 €

Ответ

E(G) = 0,45 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9104

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5

z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−1,5) = 0,9772 − 0,06681 = 0,9104

Ответ

P = 0,9104

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 75,33 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 баллов

Ответ

x = 75,33 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −3,177 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 63,5 − 58 = 5,5

Стандартная ошибка

SE = √(16²/30 + 15²/80) = 3,368

Предельная ошибка

E = 2,576·3,368 = 8,677

Интервал

5,5 ± 8,677 → [−3,177, 14,18]

Ответ

нижняя граница = −3,177 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 17319

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·40/0,5)² = 17319

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 17319

Ответ

n = 17319

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерия

t = (47,52 − 50)/0,8 = −3,1

Ответ

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 282

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·27/4)² = 281,8

Округлите вверх

n = 282

Ответ

n = 282

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8681

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 50,8

Коэффициент детерминации

r² = −21²/(10·50,8) = 0,8681

Ответ

r² = 0,8681

Прямая объясняет около 86,81% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 16,4

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 139/5 = 27,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Линия регрессии

b = 152/40 = 3,8

a = 27,8 − 3,8·6 = 5

ŷ = 5 + 3,8·x

Прогноз

ŷ = 5 + 3,8·3 = 16,4

Ответ

ŷ = 16,4

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 9,528

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 80·42/140 = 24, 80·42/140 = 24, 80·56/140 = 32

сотрудники: 60·42/140 = 18, 60·42/140 = 18, 60·56/140 = 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (17 − 24)²/24 + (23 − 24)²/24 + (40 − 32)²/32 + (25 − 18)²/18 + (19 − 18)²/18 + (16 − 24)²/24

χ² = 9,528

Ответ

χ² = 9,528

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 3

Степени свободы

df = 5 − 1 − 1 = 3

Ответ

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology