Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

В идеально нормальном распределении:

AСреднее всегда больше медианы
BСреднее, медиана и мода равны
CБольшинство значений лежит в «хвостах»
DМода — наименьшее значение

2.Методы исследования в психологииСложная

В тематическом анализе аналитик в основном:

AВыявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных
BВычисляет средний балл каждой темы, чтобы статистически сравнить их
CТолько подсчитывает частоту слов
DПроверяет числовую гипотезу

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 21, 38, 36, 48, 43, 56, 18.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 110?

μ = 100σ = 5x = 110

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,35, 0,15

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €10. Вы выигрываете €30 с вероятностью 0,15 и €100 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €10€30: p = 0,15€100: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 167,85 и 181,5 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,85x₂ = 181,5

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 115,5 и стандартное отклонение s = 18,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 115,5s = 18,595%t(8) = 2,306

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 15 участков, средний урожай 84,5 kg, стандартное отклонение 3 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 86 kg, стандартное отклонение 6 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 84,5s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 86s₂ = 690%t(20) = 1,725

верхняя граница = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 77,43 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,43s = 10n = 49

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 100 из 250 пациентов, получавших лечение A, и 21 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 100n₁ = 250x₂ = 21n₂ = 80

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 4 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Среднее, медиана и мода равны

Почему это ответ

Нормальное распределение симметрично и имеет колоколообразную форму, поэтому все три меры центральной тенденции находятся в центре.

Ответ

B · Среднее, медиана и мода равны

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Выявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных

Почему это ответ

Тематический анализ включает знакомство с данными, кодирование, формирование, пересмотр и наименование тем и написание отчёта; в центре — смысл, а не статистика.

Ответ

A · Выявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных

3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,77

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 260/7 = 37,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,14)² + 0,8571² + (−1,143)² + 10,86² + 5,857² + 18,86² + (−19,14)² = 1137

Стандартное отклонение

s = √(1137/6) = 13,77

Ответ

s = 13,77

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,21

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,3

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,15 = 2,9

Дисперсия

Var(X) = 2,9 − 1,3² = 1,21

Ответ

Var(X) = 1,21

6.Вероятность

Ответ: E(G) = −4,5 €

Чистые исходы

G: 20 (p = 0,15), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Математическое ожидание

E(G) = 20·0,15 + 90·0,01 − 10·0,84 = −4,5 €

Ответ

E(G) = −4,5 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6179

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (167,85 − 178)/7 = −1,45

z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−1,45) = 0,6915 − 0,07353 = 0,6179

Ответ

P = 0,6179

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 253,4 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Ответ

x = 253,37 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 129,7

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·18,5/√9 = 14,22

Интервал

115,5 ± 14,22 → [101,3, 129,7]

Ответ

верхняя граница = 129,7

10.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 1,765 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (14·3² + 6·6²)/20 = 17,1

s_p = 4,135

Предельная ошибка

E = 1,725·4,135·√(1/15 + 1/7) = 3,265

Интервал

−1,5 ± 3,265 → [−4,765, 1,765]

Ответ

верхняя граница = 1,765 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,701

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Статистика критерия

t = (77,43 − 75)/1,429 = 1,701

Ответ

t = 1,701

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,221

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 100/250 = 0,4

p̂₂ = 21/80 = 0,2625

p̂ = 121/330 = 0,3667

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3667·0,6333·(1/250 + 1/80)) = 0,0619

Статистика критерия

z = (0,4 − 0,2625)/0,0619 = 2,221

Ответ

z = 2,221

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9711

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 125/6 = 20,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 163

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 390,8

Коэффициент детерминации

r² = 163²/(70·390,8) = 0,9711

Ответ

r² = 0,9711

Прямая объясняет около 97,11% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 16

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 96/6 = 16

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48

Линия регрессии

b = −48/17,5 = −2,743

a = 16 − (−2,743)·3,5 = 25,6

ŷ = 25,6 − 2,743·x

Прогноз

ŷ = 25,6 + (−2,743)·3,5 = 16

Ответ

ŷ = 16

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 12,01

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 120·40/200 = 24, 120·60/200 = 36, 120·100/200 = 60

сотрудники: 80·40/200 = 16, 80·60/200 = 24, 80·100/200 = 40

Статистика хи-квадрат

χ² = (27 − 24)²/24 + (25 − 36)²/36 + (68 − 60)²/60 + (13 − 16)²/16 + (35 − 24)²/24 + (32 − 40)²/40

χ² = 12,01

Ответ

χ² = 12,01

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 2

Степени свободы

df = 4 − 1 − 1 = 2

Ответ

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology