Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Альфа Кронбаха 0,88 для шкалы тревожности из 15 пунктов указывает на:

AЗначимое влияние шкалы на тревожность
BТо, что шкала хорошо предсказывает будущую тревожность
CХорошую внутреннюю согласованность пунктов
DУстойчивость результатов в течение шести месяцев

2.Методы исследования в психологииСложная

Пациенты, отобранные из-за крайне высоких показателей тревожности, при повторном тестировании показывают более низкие результаты даже без лечения. Каково наиболее вероятное объяснение?

AКонтрбалансировка
BРегрессия к среднему
CЭффект потолка
DХоторнский эффект

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 25, 49, 34, 16, 24.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 25. Найдите z-оценку z для результата 510.

μ = 500σ = 25x = 510

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,1, 0,15, 0,3

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3Y = 3X + 5

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245,25 и 251,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 245,25x₂ = 251,25

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 90% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 98 и стандартное отклонение s = 3,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 98s = 3,599%t(9) = 3,25

нижняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 27. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 27E = 390%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 45,87 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 45,87s = 8n = 36

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 116,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 116,4σ = 20n = 8199%

L =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 12). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3, 12)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «город, средний».

итог по строке = 86итог по столбцу = 71N = 198

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 9 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Хорошую внутреннюю согласованность пунктов

Почему это ответ

Альфа Кронбаха оценивает внутреннюю согласованность; значения около 0,7 и выше обычно считаются приемлемыми. Сама по себе она не доказывает валидность.

Ответ

C · Хорошую внутреннюю согласованность пунктов

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Регрессия к среднему

Почему это ответ

Когда людей отбирают по экстремальным значениям, ошибка измерения и случайность приводят к тому, что их последующие результаты смещаются к среднему. Контрольные группы помогают отделить это от эффекта лечения.

Ответ

B · Регрессия к среднему

3.Описательная статистика

Ответ: s = 12,58

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 148/5 = 29,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−4,6)² + 19,4² + 4,4² + (−13,6)² + (−5,6)² = 633,2

Стандартное отклонение

s = √(633,2/4) = 12,58

Ответ

s = 12,58

4.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (510 − 500)/25 = 0,4

Ответ

z = 0,4

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,548

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,05

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,3 = 6,75

Дисперсия

Var(X) = 6,75 − 2,05² = 2,548

Ответ

Var(X) = 2,548

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 30,89

Разброс X

μ = 28, Var(X) = 106, σ_X = 10,3

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·10,3 = 30,89

Ответ

σ_Y = 30,89

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·28 + 5 = 89.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4277

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95

z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

Площадь между

P = Φ(0,25) − Φ(−0,95) = 0,5987 − 0,1711 = 0,4277

Ответ

P = 0,4277

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 449 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Ответ

x = 449 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 94,4

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Предельная ошибка

E = 3,25·3,5/√10 = 3,597

Интервал

98 ± 3,597 → [94,4, 101,6]

Ответ

нижняя граница = 94,4

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 220

Выразите n

n = (1,645·27/3)² = 219,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 220

Ответ

n = 220

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,098

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Статистика критерия

t = (45,87 − 50)/1,333 = −3,098

Ответ

t = −3,098

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 110,7

Предельная ошибка

E = 2,576·20/√81 = 5,724

Граница интервала

L = 116,4 − 5,724 = 110,7

Ответ

L = 110,7

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8126

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 258/5 = 51,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 249,2

Коэффициент детерминации

r² = 45²/(10·249,2) = 0,8126

Ответ

r² = 0,8126

Прямая объясняет около 81,26% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,224

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 187/6 = 31,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279

Линия регрессии

b = 279/70 = 3,986

a = 31,17 − 3,986·7 = 3,267

ŷ = 3,267 + 3,986·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 3,267 + 3,986·3 = 15,22

Остаток

e = 12 − 15,22 = −3,224

Ответ

e = −3,224

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 30,84

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 86·71/198 = 30,84

Ответ

E = 30,84

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 14,07

Степени свободы

df = 9 − 1 − 1 = 7

Таблица

χ²_crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067

Ответ

χ²_crit = 14,067

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology