Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Экологическая валидность означает:

AВыглядит ли тест так, будто измеряет нужное
BНасколько тест согласован во времени
CНасколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации
DПредсказывает ли тест будущее поведение

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследовательница сравнивает три или более групповых средних. Почему она использует однофакторный дисперсионный анализ, а не несколько t-критериев?

AНесколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода
Bt-критерии не работают с числами больше 100
Ct-критериям нужны качественные данные
DДисперсионный анализ всегда находит более крупные эффекты, чем эквивалентный набор t-критериев

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 28, 33, 28, 32, 12, 53, 33.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 106.

μ = 100σ = 15x = 106

z =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.

n = 13k = 4

N =

6.ВероятностьСложная

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 10p = 0,4k = 5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 85 и 108,25 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 108,25

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 11,5 и стандартное отклонение s = 8. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 11,5s = 895%t(6) = 2,447

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 3,7 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 3,7 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 109,6 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 109,6s = 20n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 26. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 5σ = 26z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 102Σx² = 91Σy² = 1840Σxy = 316

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (1,5, 52). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 52)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2202 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 4 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Насколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

Почему это ответ

Экологическая валидность касается того, применимы ли результаты к повседневным ситуациям. У строго контролируемых лабораторных исследований она часто низкая.

Ответ

C · Насколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Несколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода

Почему это ответ

Много попарных тестов умножают шанс ложноположительного результата. ANOVA проверяет все группы вместе, после чего проводят скорректированные post hoc тесты.

Ответ

A · Несколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода

3.Описательная статистика

Ответ: s = 12,05

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 219/7 = 31,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−3,286)² + 1,714² + (−3,286)² + 0,7143² + (−19,29)² + 21,71² + 1,714² = 871,4

Стандартное отклонение

s = √(871,4/6) = 12,05

Ответ

s = 12,05

4.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (106 − 100)/15 = 0,4

Ответ

z = 0,4

5.Вероятность

Ответ: N = 715

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715

Ответ

N = 715

6.Вероятность

Ответ: P = 0,2007

Формула Бернулли

P(X = 5) = 252·0,4⁵·0,6⁵ = 252·0,01024·0,07776 = 0,2007

Ответ

P = 0,2007

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5502

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55

Площадь между

P = Φ(0,55) − Φ(−1) = 0,7088 − 0,1587 = 0,5502

Ответ

P = 0,5502

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 37,05 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Ответ

x = 37,05 min

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 18,9

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Предельная ошибка

E = 2,447·8/√7 = 7,399

Интервал

11,5 ± 7,399 → [4,101, 18,9]

Ответ

верхняя граница = 18,9

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 2,831 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·3,7² = 273,8

Границы для σ²

273,8/34,17 = 8,013

273,8/9,591 = 28,55

Граница для σ

σ = √8,013 = 2,831 µm

Ответ

σ = 2,831 µm

95 % интервал для σ: [2,831, 5,343] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,6

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Статистика критерия

t = (109,6 − 120)/4 = −2,6

Ответ

t = −2,6

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 272

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·26/5)² = 271,4

Округлите вверх

n = 272

Ответ

n = 272

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9519

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 316 − 21·102/6 = −41

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1840 − 102²/6 = 106

Коэффициент корреляции

r = −41/√(17,5·106) = −0,9519

Ответ

r = −0,9519

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,75

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 343/5 = 68,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79

Линия регрессии

b = 79/10 = 7,9

a = 68,6 − 7,9·3 = 44,9

ŷ = 44,9 + 7,9·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 44,9 + 7,9·1,5 = 56,75

Остаток

e = 52 − 56,75 = −4,75

Ответ

e = −4,75

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 14,52

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 120·121/220 = 66, 120·99/220 = 54

женщины: 100·121/220 = 55, 100·99/220 = 45

Статистика хи-квадрат

χ² = (52 − 66)²/66 + (68 − 54)²/54 + (69 − 55)²/55 + (31 − 45)²/45

χ² = 14,52

Ответ

χ² = 14,52

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 12,59

Степени свободы

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Таблица

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Ответ

χ²_crit = 12,592

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology