Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь рассылает опросник всем студентам, а затем просит респондентов привлечь друзей, которые тоже пользуются редким приложением для сна. Какой метод формирования выборки используется на втором шаге?

AСистематическая выборка
BСлучайная выборка
CСтратифицированная выборка
DВыборка методом «снежного кома»

2.Методы исследования в психологииСложная

В качественных исследованиях рефлексивность означает, что исследователь:

AОсмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ
BПревращает темы в числовые данные
CПовторяет исследование для проверки надёжности
DИспользует случайную выборку для устранения смещения

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 55, 25, 37, 25, 46, 29, 35.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Найдите z-оценку z для результата 420.

μ = 500σ = 100x = 420

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,2, 0,25

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 12p = 0,6

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них превышает 298,3 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 298,3 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 элементов имеет среднее 24 и стандартное отклонение s = 7. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 25x̄ = 24s = 790%t(24) = 1,711

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,4 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?

p ≈ 0,4E = 0,0395%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 118,6 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,6s = 8n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 73,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 73,6σ = 4n = 4999%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 27Σy = 351Σx² = 139Σy² = 21019Σxy = 1667

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (19, 63). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(19, 63)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «город, высокий».

итог по строке = 68итог по столбцу = 32N = 141

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 4 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Выборка методом «снежного кома»

Почему это ответ

Метод «снежного кома» полезен для труднодоступных групп, но участники такой выборки, вероятно, схожи между собой, и она нерепрезентативна.

Ответ

D · Выборка методом «снежного кома»

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Осмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ

Почему это ответ

Рефлексивность признаёт влияние исследователя на сбор и интерпретацию данных и является ключевым критерием качества качественной работы.

Ответ

A · Осмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ

3.Описательная статистика

Ответ: s = 11,21

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 252/7 = 36

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 19² + (−11)² + 1² + (−11)² + 10² + (−7)² + (−1)² = 754

Стандартное отклонение

s = √(754/6) = 11,21

Ответ

s = 11,21

4.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (420 − 500)/100 = −0,8

Ответ

z = −0,8

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 4,6

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,25 = 3

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,25 = 13,6

Дисперсия

Var(X) = 13,6 − 3² = 4,6

Ответ

Var(X) = 4,6

6.Вероятность

Ответ: P = 0,0003188

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4¹² = 1,678 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 12·0,6·0,4¹¹ = 0,000302

Сложите

P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188

Ответ

P = 0,0003188

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8365

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 300 kg, σ_T = 0,5·√12 = 1,732 kg

Стандартизуйте

z = (298,3 − 300)/1,732 = −0,98

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,98) = 0,8365

Ответ

P = 0,8365

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 26,4

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Предельная ошибка

E = 1,711·7/√25 = 2,395

Интервал

24 ± 2,395 → [21,6, 26,4]

Ответ

верхняя граница = 26,4

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1025

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,4·0,6/0,03² = 1024

Округлите вверх

n = 1025

Ответ

n = 1025

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,875

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Статистика критерия

t = (118,6 − 120)/1,6 = −0,875

Ответ

t = −0,875

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 75,07

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√49 = 1,472

Граница интервала

U = 73,6 + 1,472 = 75,07

Ответ

U = 75,07

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9493

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1667 − 27·351/6 = 87,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 21019 − 351²/6 = 485,5

Коэффициент корреляции

r = 87,5/√(17,5·485,5) = 0,9493

Ответ

r = 0,9493

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,05

Средние

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 283/5 = 56,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Линия регрессии

b = 134/40 = 3,35

a = 56,6 − 3,35·18 = −3,7

ŷ = −3,7 + 3,35·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −3,7 + 3,35·19 = 59,95

Остаток

e = 63 − 59,95 = 3,05

Ответ

e = 3,05

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 15,43

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 68·32/141 = 15,43

Ответ

E = 15,43

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 9,21

Степени свободы

df = 4 − 1 − 1 = 2

Таблица

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Ответ

χ²_crit = 9,210

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology