Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

95% доверительный интервал для среднего 50 составляет от 46 до 54. Какова наиболее точная интерпретация?

A95% отдельных участников выборки набрали по этой мере от 46 до 54 баллов
BС вероятностью 95% выборочное среднее равно 50
CРезультат незначим
DИспользованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев

2.Методы исследования в психологииСложная

«Кризис воспроизводимости» в психологии означает:

AЧто многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях
BКопирование опросников без разрешения
CЮридическое требование к журналам отклонять все присланные репликационные исследования
DНехватку участников для экспериментов

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 28, 25, 41, 15, 36.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 42,5.

μ = 50σ = 5x = 42,5

z =

5.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 3 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 3

P =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 12p = 0,4

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них превышает 116,2 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 10> 116,2 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 25% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов25%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 6 элементов имеет среднее 117,5 и стандартное отклонение s = 3,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 6x̄ = 117,5s = 3,595%t(5) = 2,571

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 25. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 25E = 195%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 498,2 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,2s = 10n = 100

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 9. В действительности среднее равно 98.2. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 100μ = 98,2σ = 9n = 36α = 0,10

β = %

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 401Σx² = 364Σy² = 27733Σxy = 3062

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 3003 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Использованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев

Почему это ответ

95% ДИ даёт диапазон правдоподобных значений параметра популяции. Более узкие интервалы, получаемые на больших выборках, означают более точные оценки.

Ответ

D · Использованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Что многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях

Почему это ответ

Крупные репликационные проекты обнаружили, что многие эффекты меньше или отсутствуют, что связано с публикационной предвзятостью, малыми выборками и гибким анализом. Одним из ответов стала предварительная регистрация.

Ответ

A · Что многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях

3.Описательная статистика

Ответ: s = 10,07

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 145/5 = 29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−4)² + 12² + (−14)² + 7² = 406

Стандартное отклонение

s = √(406/4) = 10,07

Ответ

s = 10,07

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (42,5 − 50)/5 = −1,5

Ответ

z = −1,5

5.Вероятность

Ответ: P = 0,4667

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Ответ

P = 0,4667

6.Вероятность

Ответ: P = 0,01959

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6¹² = 0,002177

P(X = 1) = 12·0,4·0,6¹¹ = 0,01741

Сложите

P = 0,002177 + 0,01741 = 0,01959

Ответ

P = 0,01959

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9332

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 120 kg, σ_T = 0,8·√10 = 2,53 kg

Стандартизуйте

z = (116,2 − 120)/2,53 = −1,5

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 90 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,25

z из таблицы

z ≈ −0,67

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,67·15 = 90 баллов

Ответ

x = 90 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 121,2

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Предельная ошибка

E = 2,571·3,5/√6 = 3,674

Интервал

117,5 ± 3,674 → [113,8, 121,2]

Ответ

верхняя граница = 121,2

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2401

Выразите n

n = (1,96·25/1)² = 2401

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2401

Ответ

n = 2401

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Статистика критерия

t = (498,2 − 500)/1 = −1,8

Ответ

t = −1,8

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 53,27 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 9/√36 = 1,5

x̄_c = 100 − 1,282·1,5 = 98,08

z при истинном среднем

z = (98,08 − 98,2)/1,5 = −0,082

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < −0.082) = 46.73%

β = 100% − 46,73% = 53,27%

Ответ

β = 53,27%

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9979

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 3062 − 42·401/6 = 255

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 27733 − 401²/6 = 932,8

Коэффициент корреляции

r = 255/√(70·932,8) = 0,9979

Ответ

r = 0,9979

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 19,33

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18

Линия регрессии

b = −18/17,5 = −1,029

a = 19,33 − (−1,029)·3,5 = 22,93

ŷ = 22,93 − 1,029·x

Прогноз

ŷ = 22,93 + (−1,029)·3,5 = 19,33

Ответ

ŷ = 19,33

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,5833

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 40·84/140 = 24, 40·56/140 = 16

женщины: 100·84/140 = 60, 100·56/140 = 40

Статистика хи-квадрат

χ² = (26 − 24)²/24 + (14 − 16)²/16 + (58 − 60)²/60 + (42 − 40)²/40

χ² = 0,5833

Ответ

χ² = 0,5833

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 26,38

Ожидаемые частоты

линия 1: 70, 30

линия 2: 70, 30

линия 3: 70, 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (58 − 70)²/70 + (42 − 30)²/30 + (63 − 70)²/70 + (37 − 30)²/30 + (89 − 70)²/70 + (11 − 30)²/30

χ² = 26,38

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

26,38 > 9,210

Ответ

χ² = 26,38

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology