Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Чтобы получить выборку с теми же пропорциями студентов первого, второго и третьего курсов, что и в университете, исследователь должен использовать:

AДоступную выборку
BВыборку методом «снежного кома»
CСтратифицированную выборку
DВыборку добровольцев

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь собирает данные в девяти временных точках и каждый раз проверяет на уровне 5% без поправки. В чём проблема?

AВероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%
BУ такого подхода нет проблем
CРазмер эффекта уменьшается с каждым тестом
DДанные с каждым разом становятся надёжнее, поэтому итоговый тест самый точный

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 39, 36, 31, 47, 38, 51, 37.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 60. Найдите z-оценку z для результата 440.

μ = 500σ = 60x = 440

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3

σ =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 3X − 3

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них превышает 158,8 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4> 158,8 g

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5,2. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 400 наблюдений?

95%n₁ = 100E₁ = 5,2n₂ = 400

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 5 участков, средний урожай 50 kg, стандартное отклонение 9 kg. Группа участков 2: 16 участков, среднее 56 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 50s₁ = 9n₂ = 16x̄₂ = 56s₂ = 9,599%t(19) = 2,861

E = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 20. Случайная выборка из 64 наблюдений имеет среднее 86,15. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 20n = 64x̄ = 86,15H₁: μ > μ₀

p =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 1,590%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 78?

n = 6ŷ = 78

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Стратифицированную выборку

Почему это ответ

Стратифицированная выборка выделяет подгруппы (страты) и случайно отбирает участников из каждой пропорционально её доле в популяции, что делает выборку более репрезентативной.

Ответ

C · Стратифицированную выборку

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Вероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

Почему это ответ

При девяти независимых тестах вероятность хотя бы одной ошибки I рода составляет примерно 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Для этого применяют поправки, например Бонферрони.

Ответ

A · Вероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

3.Описательная статистика

Ответ: s = 6,842

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 279/7 = 39,86

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−0,8571)² + (−3,857)² + (−8,857)² + 7,143² + (−1,857)² + 11,14² + (−2,857)² = 280,9

Стандартное отклонение

s = √(280,9/6) = 6,842

Ответ

s = 6,842

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Стандартизуйте

z = (440 − 500)/60 = −1

Ответ

z = −1

5.Вероятность

Ответ: σ = 11,58

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,25 + 20·0,2 + 30·0,25 + 40·0,3 = 26

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,2 + 900·0,25 + 1600·0,3 = 810

Дисперсия

Var(X) = 810 − 26² = 134

σ = √134 = 11,58

Ответ

σ = 11,58

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,414

Разброс X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·0,8047 = 2,414

Ответ

σ_Y = 2,414

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·1,05 − 3 = 0,15.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 160 g, σ_T = 1,2·√4 = 2,4 g

Стандартизуйте

z = (158,8 − 160)/2,4 = −0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 77,82 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 баллов

Ответ

x = 77,82 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 2,6

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/400) = 0,5

Новая предельная ошибка

E₂ = 5,2·0,5 = 2,6

Ответ

E₂ = 2,6

10.Доверительные интервалы

Ответ: E = 13,77 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (4·9² + 15·9,5²)/19 = 88,3

s_p = 9,397

Предельная ошибка

E = 2,861·9,397·√(1/5 + 1/16) = 13,77

Ответ

E = 13,77 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,006947

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5

z = (86,15 − 80)/2,5 = 2,46

Площадь хвоста

Φ(2,46) = 0,9931

1 − Φ(2,46) = 0,0069

p-значение

p = 0,006947

Ответ

p = 0,006947

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 482

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·20/1,5)² = 481,1

Округлите вверх

n = 482

Ответ

n = 482

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9991

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 167/6 = 27,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 251

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 900,8

Коэффициент детерминации

r² = 251²/(70·900,8) = 0,9991

Ответ

r² = 0,9991

Прямая объясняет около 99,91% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 7,516

Средние

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 412/6 = 68,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81

Линия регрессии

b = 81/17,5 = 4,629

a = 68,67 − 4,629·5,5 = 43,21

ŷ = 43,21 + 4,629·x

Найдите x

x = (78 − 43,21)/4,629 = 7,516

Ответ

x = 7,516

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5,455

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 40·66/120 = 22, 40·54/120 = 18

плацебо: 80·66/120 = 44, 80·54/120 = 36

Статистика хи-квадрат

χ² = (16 − 22)²/22 + (24 − 18)²/18 + (50 − 44)²/44 + (30 − 36)²/36

χ² = 5,455

Ответ

χ² = 5,455

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 10,76

Ожидаемые частоты

завод A: 40, 40

завод B: 30, 30

завод C: 50, 50

Статистика хи-квадрат

χ² = (45 − 40)²/40 + (35 − 40)²/40 + (19 − 30)²/30 + (41 − 30)²/30 + (56 − 50)²/50 + (44 − 50)²/50

χ² = 10,76

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

10,76 > 5,991

Ответ

χ² = 10,76

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology