Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Экологическая валидность означает:

AПредсказывает ли тест будущее поведение
BВыглядит ли тест так, будто измеряет нужное
CНасколько тест согласован во времени
DНасколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

2.Методы исследования в психологииСложная

«Кризис воспроизводимости» в психологии означает:

AНехватку участников для экспериментов
BЮридическое требование к журналам отклонять все присланные репликационные исследования
CКопирование опросников без разрешения
DЧто многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 52, 26, 51, 13, 50, 10, 21.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 95?

μ = 70σ = 20x = 95

P =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 3

P =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €2. Вы выигрываете €8 с вероятностью 0,2 и €40 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €2€8: p = 0,2€40: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9545. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9545

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 60,5 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 60,5s = 16,595%t(19) = 2,093

нижняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,7 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p ≈ 0,7E = 0,0299%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 117,5, стандартное отклонение 2,5. Группа 2: 9 студентов, средний балл 127,6, стандартное отклонение 11. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 117,5s₁ = 2,5n₂ = 9x̄₂ = 127,6s₂ = 11

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 100 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 31 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 100n₁ = 200x₂ = 31n₂ = 80

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 125Σx² = 91Σy² = 2727Σxy = 393

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (11, 36). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(11, 36)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2403 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Насколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

Почему это ответ

Экологическая валидность касается того, применимы ли результаты к повседневным ситуациям. У строго контролируемых лабораторных исследований она часто низкая.

Ответ

D · Насколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Что многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях

Почему это ответ

Крупные репликационные проекты обнаружили, что многие эффекты меньше или отсутствуют, что связано с публикационной предвзятостью, малыми выборками и гибким анализом. Одним из ответов стала предварительная регистрация.

Ответ

D · Что многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях

3.Описательная статистика

Ответ: s = 18,65

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 223/7 = 31,86

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 20,14² + (−5,857)² + 19,14² + (−18,86)² + 18,14² + (−21,86)² + (−10,86)² = 2087

Стандартное отклонение

s = √(2087/6) = 18,65

Ответ

s = 18,65

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Ответ

P = 0,8944

5.Вероятность

Ответ: P = 0,4213

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Ответ

P = 0,4213

6.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,4 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 6 (p = 0,2), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,78)

Математическое ожидание

E(G) = 6·0,2 + 38·0,02 − 2·0,78 = 0,4 €

Ответ

E(G) = 0,4 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,69

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9545 = 0,0455

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0455 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,69

Ответ

z = −1,69

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 565,8 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Ответ

x = 565,8 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 52,78

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Предельная ошибка

E = 2,093·16,5/√20 = 7,722

Интервал

60,5 ± 7,722 → [52,78, 68,22]

Ответ

нижняя граница = 52,78

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 3484

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,7·0,3/0,02² = 3484

Округлите вверх

n = 3484

Ответ

n = 3484

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,991

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·2,5² + 8·11²)/12 = 82,75

s_p = 9,097

Стандартная ошибка

SE = 9,097·√(1/5 + 1/9) = 5,074

Статистика критерия

t = (117,5 − 127,6)/5,074 = −1,991

Ответ

t = −1,991

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,704

Выборочные доли

p̂₁ = 100/200 = 0,5

p̂₂ = 31/80 = 0,3875

p̂ = 131/280 = 0,4679

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,4679·0,5321·(1/200 + 1/80)) = 0,06601

Статистика критерия

z = (0,5 − 0,3875)/0,06601 = 1,704

Ответ

z = 1,704

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9598

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 393 − 21·125/6 = −44,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2727 − 125²/6 = 122,8

Коэффициент корреляции

r = −44,5/√(17,5·122,8) = −0,9598

Ответ

r = −0,9598

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,771

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 126/6 = 21

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

Линия регрессии

b = 214/70 = 3,057

a = 21 − 3,057·7 = −0,4

ŷ = −0,4 + 3,057·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −0,4 + 3,057·11 = 33,23

Остаток

e = 36 − 33,23 = 2,771

Ответ

e = 2,771

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 10,99

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

плацебо: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

Статистика хи-квадрат

χ² = (62 − 52)²/52 + (18 − 28)²/28 + (42 − 52)²/52 + (38 − 28)²/28

χ² = 10,99

Ответ

χ² = 10,99

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5,944

Ожидаемые частоты

линия 1: 40, 60

линия 2: 32, 48

линия 3: 24, 36

Статистика хи-квадрат

χ² = (49 − 40)²/40 + (51 − 60)²/60 + (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48 + (19 − 24)²/24 + (41 − 36)²/36

χ² = 5,944

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

5,944 < 9,210

Ответ

χ² = 5,944

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology