Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
Критерии хи-квадрат
- Статистика критерия
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Согласие с распределением
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Независимость
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критические значения (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Решение
- отвергнуть H0, если χ² > χ²crit
2Тренировочные задачи
1.Методы исследования в психологииСредняя
В корреляционном анализе r = 0,40. Какая доля дисперсии одной переменной является общей с другой?
- A4%
- B60%
- C40%
- D16%
2.Методы исследования в психологииСложная
Исследование показывает, что влияние стресса на болезни слабее у людей с сильной социальной поддержкой. Социальная поддержка выступает здесь как:
- AЗависимая переменная
- BМедиатор
- CМодератор
- DКонфаунд
3.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 29, 48, 44, 12, 33.
n = 5
s =
4.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 112,5.
μ = 100σ = 10x = 112,5
z =
5.ВероятностьСредняя
В мешочке 3 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
3 / 4
P =
6.ВероятностьСложная
В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?
n = 11p = 0,4k = 3
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6923. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,6923
z =
8.Нормальное распределениеСложная
Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 70% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 65 балловσ = 10 баллов70%
x = баллов
9.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 59 h, известное стандартное отклонение 5 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 74 h, известное стандартное отклонение 7 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 59 hσ₁ = 5 hn₂ = 100x̄₂ = 74 hσ₂ = 7 h90%
E = h
10.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 29. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?
σ = 29E = 499%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 202,1 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 202,1s = 10n = 100
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 64 измерений имеет среднее 50,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 50,3σ = 4n = 6495%
L =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 21Σy = 102Σx² = 91Σy² = 1898Σxy = 305
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 1,5.
n = 6x = 1,5
ŷ =
15.Критерии хи-квадратСредняя
Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «дневная смена, значительный».
итог по строке = 60итог по столбцу = 53N = 115
E =
16.Критерии хи-квадратСложная
Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 9 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?
k = 9
df =
3Растворы
1.Методы исследования в психологии
Ответ: D · 16%
Почему это ответ
Коэффициент детерминации равен r², здесь 0,40² = 0,16, то есть общая доля дисперсии — 16%.
Ответ
D · 16%
2.Методы исследования в психологии
Ответ: C · Модератор
Почему это ответ
Модератор изменяет силу или направление связи между двумя переменными. Медиатор объясняет механизм, через который одна переменная влияет на другую.
Ответ
C · Модератор
3.Описательная статистика
Ответ: s = 14,17
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 166/5 = 33,2
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−4,2)² + 14,8² + 10,8² + (−21,2)² + (−0,2)² = 802,8
Стандартное отклонение
s = √(802,8/4) = 14,17
Ответ
s = 14,17
4.Описательная статистика
Ответ: z = 1,25
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (112,5 − 100)/10 = 1,25
Ответ
z = 1,25
5.Вероятность
Ответ: P = 0,1429
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429
Ответ
P = 0,1429
6.Вероятность
Ответ: P = 0,1774
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 3) = 165·0,43·0,68 = 165·0,064·0,0168 = 0,1774
Ответ
P = 0,1774
7.Нормальное распределение
Ответ: z = 1,02
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,6923)/2 = 0,8461
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,8461 внутри таблицы и считайте z.
z = 1,02
Ответ
z = 1,02
8.Нормальное распределение
Ответ: x = 59,8 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,3
z из таблицы
z ≈ −0,52
Возврат к исходным единицам
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 баллов
Ответ
x = 59,8 баллов
9.Доверительные интервалы
Ответ: E = 1,474 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 59 − 74 = −15
Стандартная ошибка
SE = √(5²/80 + 7²/100) = 0,8958
Предельная ошибка
E = 1,645·0,8958 = 1,474
Ответ
E = 1,474 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
10.Доверительные интервалы
Ответ: n = 349
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·29/4)² = 348,8
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 349
Ответ
n = 349
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,1
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Статистика критерия
t = (202,1 − 200)/1 = 2,1
Ответ
t = 2,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
12.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 49,32
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,96·4/√64 = 0,98
Граница интервала
L = 50,3 − 0,98 = 49,32
Ответ
L = 49,32
13.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9706
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 305 − 21·102/6 = −52
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1898 − 102²/6 = 164
Коэффициент корреляции
r = −52/√(17,5·164) = −0,9706
Ответ
r = −0,9706
14.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 26,18
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 142/6 = 23,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Линия регрессии
b = −22/17,5 = −1,257
a = 23,67 − (−1,257)·3,5 = 28,07
ŷ = 28,07 − 1,257·x
Прогноз
ŷ = 28,07 + (−1,257)·1,5 = 26,18
Ответ
ŷ = 26,18
15.Критерии хи-квадрат
Ответ: E = 27,65
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Ожидаемая частота
E = 60·53/115 = 27,65
Ответ
E = 27,65
16.Критерии хи-квадрат
Ответ: df = 8
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Степени свободы
df = 9 − 1 = 8
Ответ
df = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology