Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Стандартная ошибка среднего уменьшается, когда:

AУвеличивается среднее
BУвеличивается объём выборки
CУменьшается объём выборки
DПеременная измеряется по порядковой шкале

2.Методы исследования в психологииСложная

Меры размера эффекта, например d Коэна, сообщают потому, что они:

AПоказывают, статистически ли значим результат при выбранном уровне альфа
BУказывают, сколько участников выбыло
CОтменяют необходимость в какой-либо гипотезе
DПоказывают, насколько велик эффект, независимо от объёма выборки

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 16, 50, 48, 38, 24.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 118?

μ = 100σ = 12x = 118

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 9 человек? Порядок не важен.

n = 9k = 2

N =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €3 с вероятностью 0,15 и €20 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€3: p = 0,15€20: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,2737. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,2737

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 13 элементов имеет среднее 36 и стандартное отклонение s = 9. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 13x̄ = 36s = 995%t(12) = 2,179

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 40. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 40E = 499%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 52,72 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,72s = 8n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 16. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 4σ = 16z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 64?

n = 5ŷ = 64

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 4 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Увеличивается объём выборки

Почему это ответ

Стандартная ошибка оценивает, насколько выборочные средние разбросаны вокруг среднего популяции. Большие выборки дают более точные оценки.

Ответ

B · Увеличивается объём выборки

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Показывают, насколько велик эффект, независимо от объёма выборки

Почему это ответ

В больших выборках даже крошечные эффекты могут быть значимыми. Размер эффекта выражает величину различия, напр. d = 0,2 малый, 0,5 средний, 0,8 большой.

Ответ

D · Показывают, насколько велик эффект, независимо от объёма выборки

3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,87

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 176/5 = 35,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−19,2)² + 14,8² + 12,8² + 2,8² + (−11,2)² = 884,8

Стандартное отклонение

s = √(884,8/4) = 14,87

Ответ

s = 14,87

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

5.Вероятность

Ответ: N = 36

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36

Ответ

N = 36

6.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,45 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 2 (p = 0,15), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)

Математическое ожидание

E(G) = 2·0,15 + 19·0,05 − 1·0,8 = 0,45 €

Ответ

E(G) = 0,45 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,35

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,2737)/2 = 0,6368

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,6368 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,35

Ответ

z = 0,35

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 593,1 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Ответ

x = 593,05 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,439

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Предельная ошибка

E = 2,179·9/√13 = 5,439

Ответ

E = 5,439

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 664

Выразите n

n = (2,576·40/4)² = 663,6

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 664

Ответ

n = 664

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Статистика критерия

t = (52,72 − 50)/1,6 = 1,7

Ответ

t = 1,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 99

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·16/4)² = 98,96

Округлите вверх

n = 99

Ответ

n = 99

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8748

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 385/6 = 64,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 412,8

Коэффициент детерминации

r² = 79,5²/(17,5·412,8) = 0,8748

Ответ

r² = 0,8748

Прямая объясняет около 87,48% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,972

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 357/5 = 71,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288

Линия регрессии

b = 288/40 = 7,2

a = 71,4 − 7,2·5 = 35,4

ŷ = 35,4 + 7,2·x

Найдите x

x = (64 − 35,4)/7,2 = 3,972

Ответ

x = 3,972

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 18,32

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48

сотрудники: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32

Статистика хи-квадрат

χ² = (23 − 36)²/36 + (38 − 36)²/36 + (59 − 48)²/48 + (37 − 24)²/24 + (22 − 24)²/24 + (21 − 32)²/32

χ² = 18,32

Ответ

χ² = 18,32

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 2

Степени свободы

df = 4 − 1 − 1 = 2

Ответ

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology