Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Надёжность расщепления (split-half) предполагает:

AТестирование двух половин выборки в разное время
BИспользование двух наблюдателей, каждый на половине сеансов
CРазделение выборки на экспериментальную и контрольную группы и сравнение их баллов
DСравнение результатов по двум половинам одного теста для проверки внутренней согласованности

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь собирает данные в девяти временных точках и каждый раз проверяет на уровне 5% без поправки. В чём проблема?

AРазмер эффекта уменьшается с каждым тестом
BВероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%
CУ такого подхода нет проблем
DДанные с каждым разом становятся надёжнее, поэтому итоговый тест самый точный

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 52, 20, 49, 34, 17, 44.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 85?

μ = 60σ = 20x = 85

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 6 человек? Порядок не важен.

n = 6k = 4

N =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 11p = 0,5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8584. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8584

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 137,5 h, известное стандартное отклонение 16 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 132 h, известное стандартное отклонение 8 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 137,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 60x̄₂ = 132 hσ₂ = 8 h99%

E = h

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 2,7 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.

n = 25s = 2,7 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 101,5 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,5s = 5n = 49

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 4. В действительности среднее равно 498.85. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 498,85σ = 4n = 64α = 0,01

β = %

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (6,5, 53). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(6,5, 53)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «ночная смена, без дефектов».

итог по строке = 88итог по столбцу = 38N = 151

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Сравнение результатов по двум половинам одного теста для проверки внутренней согласованности

Почему это ответ

Если обе половины измеряют один и тот же конструкт, результаты по ним должны сильно коррелировать. Альфа Кронбаха распространяет эту идею на все возможные разбиения.

Ответ

D · Сравнение результатов по двум половинам одного теста для проверки внутренней согласованности

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Вероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

Почему это ответ

При девяти независимых тестах вероятность хотя бы одной ошибки I рода составляет примерно 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Для этого применяют поправки, например Бонферрони.

Ответ

B · Вероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,9

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 216/6 = 36

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 16² + (−16)² + 13² + (−2)² + (−19)² + 8² = 1110

Стандартное отклонение

s = √(1110/5) = 14,9

Ответ

s = 14,9

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Ответ

P = 0,1056

5.Вероятность

Ответ: N = 15

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Ответ

N = 15

6.Вероятность

Ответ: P = 0,005859

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5¹¹ = 0,0004883

P(X = 1) = 11·0,5·0,5¹⁰ = 0,005371

Сложите

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Ответ

P = 0,005859

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,47

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8584)/2 = 0,9292

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9292 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,47

Ответ

z = 1,47

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 243,6 g

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Ответ

x = 243,6 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,407 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 137,5 − 132 = 5,5

Стандартная ошибка

SE = √(16²/50 + 8²/60) = 2,487

Предельная ошибка

E = 2,576·2,487 = 6,407

Ответ

E = 6,407 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 3,756 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 24·2,7² = 175

Границы для σ²

175/39,364 = 4,445

175/12,401 = 14,11

Граница для σ

σ = √14,11 = 3,756 µm

Ответ

σ = 3,756 µm

95 % интервал для σ: [2,108, 3,756] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Статистика критерия

t = (101,5 − 100)/0,7143 = 2,1

Ответ

t = 2,1

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 51,04 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 4/√64 = 0,5

x̄_c = 500 − 2,326·0,5 = 498,8

z при истинном среднем

z = (498,8 − 498,85)/0,5 = −0,026

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < −0.026) = 48.96%

β = 100% − 48,96% = 51,04%

Ответ

β = 51,04%

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9554

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 331/5 = 66,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 632,8

Коэффициент корреляции

r = 76/√(10·632,8) = 0,9554

Ответ

r = 0,9554

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,743

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 306/6 = 51

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

Линия регрессии

b = 59/17,5 = 3,371

a = 51 − 3,371·4,5 = 35,83

ŷ = 35,83 + 3,371·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 35,83 + 3,371·6,5 = 57,74

Остаток

e = 53 − 57,74 = −4,743

Ответ

e = −4,743

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 22,15

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 88·38/151 = 22,15

Ответ

E = 22,15

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 7,746

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 12, 28

возраст 31–50: 18, 42

возраст 51+: 30, 70

Статистика хи-квадрат

χ² = (16 − 12)²/12 + (24 − 28)²/28 + (23 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42 + (21 − 30)²/30 + (79 − 70)²/70

χ² = 7,746

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

7,746 > 5,991

Ответ

χ² = 7,746

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology