Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
Критерии хи-квадрат
- Статистика критерия
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Согласие с распределением
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Независимость
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критические значения (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Решение
- отвергнуть H0, если χ² > χ²crit
2Тренировочные задачи
1.Методы исследования в психологииСредняя
Поперечное исследование одновременно сравнивает использование технологий у 20-, 40- и 60-летних. Какая проблема может исказить сравнение по возрасту?
- AКогортные эффекты
- BЭффекты тренировки
- CЭффекты порядка
- DЭффекты нижней границы
2.Методы исследования в психологииСложная
Исследователь измеряет влияние шума на концентрацию. Участников в условии с шумом случайно тестировали утром, а в условии тишины — днём. В чём проблема?
- AВ исследовании слишком много условий
- BВремя суток — смешивающая переменная
- CВремя суток — зависимая переменная
- DДанные номинальные
3.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 41, 11, 55, 25, 31, 59.
n = 6
s =
4.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 55,6?
μ = 70σ = 12x = 55,6
P =
5.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.
n = 13k = 5
N =
6.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 4. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3Y = 5X + 4
σY =
7.Нормальное распределениеСредняя
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 167,5 и 185 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 178σ = 7x1 = 167,5x2 = 185
P =
8.Нормальное распределениеСложная
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 99%
x = баллов
9.Доверительные интервалыСредняя
У 7 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 2,5 и стандартное отклонение 2. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 7d̄ = 2,5sd = 290%t(6) = 1,943
верхняя граница = mmHg
10.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 24. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?
σ = 24E = 2,590%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 204,1 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 204,1s = 12n = 49
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 12. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 12E = 0,595%
n =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 48Σy = 469Σx² = 454Σy² = 37885Σxy = 4041
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
15.Критерии хи-квадратСредняя
Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.
N = 1402 × 2
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 3 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?
2 × 3
df =
3Растворы
1.Методы исследования в психологии
Ответ: A · Когортные эффекты
Почему это ответ
Разные возрастные группы росли в разных исторических условиях, поэтому различия могут отражать поколение (когорту), а не само старение.
Ответ
A · Когортные эффекты
2.Методы исследования в психологии
Ответ: B · Время суток — смешивающая переменная
Почему это ответ
Поскольку шум и время тестирования меняются вместе, любое различие может быть вызвано любым из них. Случайное распределение времени тестирования или его фиксация устранили бы конфаунд.
Ответ
B · Время суток — смешивающая переменная
3.Описательная статистика
Ответ: s = 18,33
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 222/6 = 37
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 4² + (−26)² + 18² + (−12)² + (−6)² + 22² = 1680
Стандартное отклонение
s = √(1680/5) = 18,33
Ответ
s = 18,33
4.Описательная статистика
Ответ: P = 0,8849
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблица нормального распределения
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Ответ
P = 0,8849
5.Вероятность
Ответ: N = 1287
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Ответ
N = 1287
6.Вероятность
Ответ: σY = 5,5
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1,7, Var(X) = 1,21, σX = 1,1
Линейное преобразование
σY = |5|·1,1 = 5,5
Ответ
σY = 5,5
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·1,7 + 4 = 12,5.
7.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7745
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5
z₂ = (185 − 178)/7 = 1
Площадь между
P = Φ(1) − Φ(−1,5) = 0,8413 − 0,06681 = 0,7745
Ответ
P = 0,7745
8.Нормальное распределение
Ответ: x = 88,26 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Обратно к x
x = 65 + 2,326·10 = 88,26 баллов
Ответ
x = 88,26 баллов
9.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 3,969 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 6, t = 1,943
Предельная ошибка
E = 1,943·2/√7 = 1,469
Интервал
2,5 ± 1,469 → [1,031, 3,969]
Ответ
верхняя граница = 3,969 mmHg
10.Доверительные интервалы
Ответ: n = 250
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,645·24/2,5)² = 249,4
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 250
Ответ
n = 250
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,392
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Статистика критерия
t = (204,1 − 200)/1,714 = 2,392
Ответ
t = 2,392
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
12.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 2213
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,96·12/0,5)² = 2213
Округлите вверх
n = 2213
Ответ
n = 2213
13.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,987
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 4041 − 48·469/6 = 289
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 37885 − 469²/6 = 1225
Коэффициент корреляции
r = 289/√(70·1225) = 0,987
Ответ
r = 0,987
14.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 13,85
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 55/5 = 11
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
Линия регрессии
b = 38/40 = 0,95
a = 11 − 0,95·6 = 5,3
ŷ = 5,3 + 0,95·x
Прогноз
ŷ = 5,3 + 0,95·9 = 13,85
Ответ
ŷ = 13,85
15.Критерии хи-квадрат
Ответ: χ² = 1,154
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Ожидаемые частоты
мужчины: 80·49/140 = 28, 80·91/140 = 52
женщины: 60·49/140 = 21, 60·91/140 = 39
Статистика хи-квадрат
χ² = (31 − 28)²/28 + (49 − 52)²/52 + (18 − 21)²/21 + (42 − 39)²/39
χ² = 1,154
Ответ
χ² = 1,154
df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.
16.Критерии хи-квадрат
Ответ: df = 2
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Степени свободы
df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2
Ответ
df = 2
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology