Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Стандартная ошибка среднего уменьшается, когда:

  1. AУвеличивается среднее
  2. BПеременная измеряется по порядковой шкале
  3. CУвеличивается объём выборки
  4. DУменьшается объём выборки
2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь вызывает грустное настроение, показывая печальный фильм, а затем перед основным заданием просит участников оценить, насколько им грустно. Зачем включена эта оценка?

  1. AДля контрбалансировки порядка условий
  2. BКак проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано
  3. CДля дебрифинга участников о целях
  4. DКак основная зависимая переменная исследования
3.Описательная статистикаСредняя
1520253035404550

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 28, 11, 49, 54, 36, 21.

n = 6
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 59.

μ = 50σ = 15x = 59
z =
5.ВероятностьСредняя
P(хотя бы одна шестёрка) = ??1?2?3P(шестёрка) = 1/6 при каждом броске

Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 3
P =
6.ВероятностьСложная
n = 11, p = 0,25: P(X = 1) = ?k01234567891011

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 11p = 0,25k = 1
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
245,25256,25P = ?

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245,25 и 256,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x1 = 245,25x2 = 256,25
P =
8.Нормальное распределениеСложная
μ = 65x = ?99%

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 99%
x = баллов
9.Доверительные интервалыСредняя
x̄E₁ = 5,690%, n = 64x̄E₂ = ?99%, n = 128

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5,6. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по 128 наблюдениям?

90%n₁ = 64E₁ = 5,699%n₂ = 128
E₂ =
10.Доверительные интервалыСложная
n = 10Lσ = ?s = 3,395%

Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 3,3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.

n = 10s = 3,3 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,0302,03

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 128 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 128s = 20n = 36
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,05βσ = 19, мощность 90%, n = ?

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 19. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 3σ = 19zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy236347448552648xy24635404550

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5
r² =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy2741161682410251233xy510102030x = 11

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (11, 28). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(11, 28)
e =
15.Критерии хи-квадратСредняя
без дефектовнезначительныйзначительныйИтогодневная смена38154093ночная смена24223379Итого623773172

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «ночная смена, без дефектов».

итог по строке = 79итог по столбцу = 62N = 172
E =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 9 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Увеличивается объём выборки

Почему это ответ

Стандартная ошибка оценивает, насколько выборочные средние разбросаны вокруг среднего популяции. Большие выборки дают более точные оценки.

Ответ

C · Увеличивается объём выборки
2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Как проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано

Почему это ответ

Проверка манипуляции подтверждает, что НП вызвала задуманное психологическое состояние. Без неё нулевой результат мог бы означать, что манипуляция не удалась.

Ответ

B · Как проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано
3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,49

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 199/6 = 33,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,167)² + (−22,17)² + 15,83² + 20,83² + 2,833² + (−12,17)² = 1359

Стандартное отклонение

s = √(1359/5) = 16,49

Ответ

s = 16,49
4.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = (59 − 50)/15 = 0,6

Ответ

z = 0,6
5.Вероятность

Ответ: P = 0,4213

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Ответ

P = 0,4213
6.Вероятность

Ответ: P = 0,1549

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 1) = 11·0,251·0,7510 = 11·0,25·0,05631 = 0,1549

Ответ

P = 0,1549
7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7233

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95
z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Площадь между

P = Φ(1,25) − Φ(−0,95) = 0,8944 − 0,1711 = 0,7233

Ответ

P = 0,7233
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 88,26 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 баллов

Ответ

x = 88,26 баллов
9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 6,201

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/128) = 1,107

Новая предельная ошибка

E₂ = 5,6·1,107 = 6,201

Ответ

E₂ = 6,201
10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 6,025 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 9·3,3² = 98,01

Границы для σ²

98,01/19,023 = 5,152
98,01/2,7 = 36,3

Граница для σ

σ = √36,3 = 6,025 µm

Ответ

σ = 6,025 µm

95 % интервал для σ: [2,27, 6,025] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Статистика критерия

t = (128 − 120)/3,333 = 2,4

Ответ

t = 2,4
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 344

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·19/3)² = 343,6

Округлите вверх

n = 344

Ответ

n = 344
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,5808

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 231/5 = 46,2

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 144,8

Коэффициент детерминации

r² = 29²/(10·144,8) = 0,5808

Ответ

r² = 0,5808

Прямая объясняет около 58,08% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,619

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 116/6 = 19,33

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

Линия регрессии

b = 180/70 = 2,571
a = 19,33 − 2,571·7 = 1,333
ŷ = 1,333 + 2,571·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 1,333 + 2,571·11 = 29,62

Остаток

e = 28 − 29,62 = −1,619

Ответ

e = −1,619

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 28,48

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 79·62/172 = 28,48

Ответ

E = 28,48
16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 18,48

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 9 − 1 − 1 = 7

Таблица

χ²crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475

Ответ

χ²crit = 18,475

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology