Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследование прошло предварительную регистрацию (preregistration). Это означает, что:

AУчастники регистрируют своё согласие онлайн
BРезультаты проверены и одобрены вторым независимым статистиком до публикации
CГипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных
DИсследование уже опубликовано

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь вызывает грустное настроение, показывая печальный фильм, а затем перед основным заданием просит участников оценить, насколько им грустно. Зачем включена эта оценка?

AКак проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано
BКак основная зависимая переменная исследования
CДля дебрифинга участников о целях
DДля контрбалансировки порядка условий

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 52, 40, 33, 30, 39.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 35,6?

μ = 50σ = 12x = 35,6

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 6 человек? Порядок не важен.

n = 6k = 3

N =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15Y = 3X + 1

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,6368. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6368

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 75% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 118,5 и стандартное отклонение s = 6,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 118,5s = 6,590%t(10) = 1,812

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 21. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 21E = 1,590%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 93,11 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 93,11s = 20n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 15E = 2,590%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 224Σx² = 55Σy² = 10336Σxy = 724

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 22,5.

n = 5x = 22,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «сотрудники, велосипед».

итог по строке = 89итог по столбцу = 47N = 157

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 3 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

Почему это ответ

Предварительная регистрация разделяет подтверждающие и разведочные анализы и уменьшает такие практики, как p-hacking и HARKing.

Ответ

C · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Как проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано

Почему это ответ

Проверка манипуляции подтверждает, что НП вызвала задуманное психологическое состояние. Без неё нулевой результат мог бы означать, что манипуляция не удалась.

Ответ

A · Как проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано

3.Описательная статистика

Ответ: s = 8,468

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 194/5 = 38,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 13,2² + 1,2² + (−5,8)² + (−8,8)² + 0,2² = 286,8

Стандартное отклонение

s = √(286,8/4) = 8,468

Ответ

s = 8,468

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

5.Вероятность

Ответ: N = 20

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Ответ

N = 20

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 3,059

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,4, Var(X) = 1,04, σ_X = 1,02

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·1,02 = 3,059

Ответ

σ_Y = 3,059

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·2,4 + 1 = 8,2.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = −0,35

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,6368 = 0,3632

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,3632 внутри таблицы и считайте z.

z = −0,35

Ответ

z = −0,35

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 246,7 g

Площадь слева

Φ(z) = 0,25

z из таблицы

z ≈ −0,67

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Ответ

x = 246,7 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 122,1

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Предельная ошибка

E = 1,812·6,5/√11 = 3,551

Интервал

118,5 ± 3,551 → [114,9, 122,1]

Ответ

верхняя граница = 122,1

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 531

Выразите n

n = (1,645·21/1,5)² = 530,4

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 531

Ответ

n = 531

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,101

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерия

t = (93,11 − 100)/2,222 = −3,101

Ответ

t = −3,101

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 98

Выразите n

n = (1,645·15/2,5)² = 97,42

Округлите вверх

n = 98

Ответ

n = 98

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9481

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 724 − 15·224/5 = 52

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 10336 − 224²/5 = 300,8

Коэффициент корреляции

r = 52/√(10·300,8) = 0,9481

Ответ

r = 0,9481

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 72,9

Средние

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 341/5 = 68,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282

Линия регрессии

b = 282/90 = 3,133

a = 68,2 − 3,133·21 = 2,4

ŷ = 2,4 + 3,133·x

Прогноз

ŷ = 2,4 + 3,133·22,5 = 72,9

Ответ

ŷ = 72,9

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 26,64

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 89·47/157 = 26,64

Ответ

E = 26,64

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 9,21

Степени свободы

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Таблица

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Ответ

χ²_crit = 9,210

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology