Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Экологическая валидность означает:

AНасколько тест согласован во времени
BНасколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации
CПредсказывает ли тест будущее поведение
DВыглядит ли тест так, будто измеряет нужное

2.Методы исследования в психологииСложная

Пациенты, отобранные из-за крайне высоких показателей тревожности, при повторном тестировании показывают более низкие результаты даже без лечения. Каково наиболее вероятное объяснение?

AРегрессия к среднему
BХоторнский эффект
CКонтрбалансировка
DЭффект потолка

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 46, 10, 12, 57, 39, 20.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Какая доля P значений меньше 468?

μ = 500σ = 40x = 468

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,2

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 22,7 и 33,5 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 22,7x₂ = 33,5

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 70% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов70%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 4,9. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по тем же данным?

95%n₁ = 50E₁ = 4,990%

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 3,1 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 3,1 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 53,31 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53,31s = 8n = 49

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 74,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 74,5σ = 12n = 8199%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 347Σx² = 91Σy² = 20401Σxy = 1290

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 19). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(9, 19)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 5 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 5

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Насколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

Почему это ответ

Экологическая валидность касается того, применимы ли результаты к повседневным ситуациям. У строго контролируемых лабораторных исследований она часто низкая.

Ответ

B · Насколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Регрессия к среднему

Почему это ответ

Когда людей отбирают по экстремальным значениям, ошибка измерения и случайность приводят к тому, что их последующие результаты смещаются к среднему. Контрольные группы помогают отделить это от эффекта лечения.

Ответ

A · Регрессия к среднему

3.Описательная статистика

Ответ: s = 19,43

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 184/6 = 30,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 15,33² + (−20,67)² + (−18,67)² + 26,33² + 8,333² + (−10,67)² = 1887

Стандартное отклонение

s = √(1887/5) = 19,43

Ответ

s = 19,43

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Ответ

P = 0,2119

5.Вероятность

Ответ: σ = 0,8047

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Дисперсия

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Ответ

σ = 0,8047

6.Вероятность

Ответ: P = 0,3758

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,8¹⁰ = 0,1074

P(X = 1) = 10·0,2·0,8⁹ = 0,2684

Сложите

P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Ответ

P = 0,3758

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5381

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Площадь между

P = Φ(0,25) − Φ(−1,55) = 0,5987 − 0,06057 = 0,5381

Ответ

P = 0,5381

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 92,2 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,3

z из таблицы

z ≈ −0,52

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 баллов

Ответ

x = 92,2 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 4,113

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393

Новая предельная ошибка

E₂ = 4,9·0,8393 = 4,113

Ответ

E₂ = 4,113

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 4,477 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·3,1² = 192,2

Границы для σ²

192,2/34,17 = 5,625

192,2/9,591 = 20,04

Граница для σ

σ = √20,04 = 4,477 µm

Ответ

σ = 4,477 µm

95 % интервал для σ: [2,372, 4,477] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,896

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Статистика критерия

t = (53,31 − 50)/1,143 = 2,896

Ответ

t = 2,896

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 77,93

Предельная ошибка

E = 2,576·12/√81 = 3,435

Граница интервала

U = 74,5 + 3,435 = 77,93

Ответ

U = 77,93

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9893

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1290 − 21·347/6 = 75,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 20401 − 347²/6 = 332,8

Коэффициент корреляции

r = 75,5/√(17,5·332,8) = 0,9893

Ответ

r = 0,9893

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −2,633

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 107/6 = 17,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133

Линия регрессии

b = 133/70 = 1,9

a = 17,83 − 1,9·7 = 4,533

ŷ = 4,533 + 1,9·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 4,533 + 1,9·9 = 21,63

Остаток

e = 19 − 21,63 = −2,633

Ответ

e = −2,633

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,524

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 40·32/160 = 8, 40·72/160 = 18, 40·56/160 = 14

село: 120·32/160 = 24, 120·72/160 = 54, 120·56/160 = 42

Статистика хи-квадрат

χ² = (8 − 8)²/8 + (15 − 18)²/18 + (17 − 14)²/14 + (24 − 24)²/24 + (57 − 54)²/54 + (39 − 42)²/42

χ² = 1,524

Ответ

χ² = 1,524

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 4

Степени свободы

df = 5 − 1 = 4

Ответ

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology