Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

95% доверительный интервал для среднего 50 составляет от 46 до 54. Какова наиболее точная интерпретация?

AС вероятностью 95% выборочное среднее равно 50
BИспользованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев
CРезультат незначим
D95% отдельных участников выборки набрали по этой мере от 46 до 54 баллов

2.Методы исследования в психологииСложная

Какой непараметрический тест сравнивает две связанные выборки, например баллы «до» и «после» по порядковой шкале?

AКритерий хи-квадрат на независимость
BU-критерий Манна — Уитни
Ct-критерий для независимых выборок
DКритерий знаковых рангов Уилкоксона

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 56, 39, 21, 48, 48, 30, 40.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений больше 700?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,15, 0,1, 0,25, 0,15

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,25, 0,2, 0,3, 0,15Y = 3X + 10

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 174,85 и 188,5 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,85x₂ = 188,5

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

У 20 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 8 и стандартное отклонение 0,9. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.

n = 20d̄ = 8s_d = 0,995%t(19) = 2,093

нижняя граница = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 14 участков, средний урожай 86,5 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 75,5 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 14x̄₁ = 86,5s₁ = 9,5n₂ = 7x̄₂ = 75,5s₂ = 1,599%t(19) = 2,861

верхняя граница = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 43,36 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 43,36s = 15n = 49

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 48,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 48,5σ = 5n = 8195%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (2,5, 53). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 53)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «город, высокий».

итог по строке = 62итог по столбцу = 49N = 165

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 4 строками и 4 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Использованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев

Почему это ответ

95% ДИ даёт диапазон правдоподобных значений параметра популяции. Более узкие интервалы, получаемые на больших выборках, означают более точные оценки.

Ответ

B · Использованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Критерий знаковых рангов Уилкоксона

Почему это ответ

Критерий Уилкоксона предназначен для парных порядковых данных; U-критерий Манна — Уитни — его аналог для независимых групп.

Ответ

D · Критерий знаковых рангов Уилкоксона

3.Описательная статистика

Ответ: s = 11,87

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 282/7 = 40,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 15,71² + (−1,286)² + (−19,29)² + 7,714² + 7,714² + (−10,29)² + (−0,2857)² = 845,4

Стандартное отклонение

s = √(845,4/6) = 11,87

Ответ

s = 11,87

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,31

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,1 + 4·0,25 + 5·0,15 = 2,7

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,1 + 16·0,25 + 25·0,15 = 9,6

Дисперсия

Var(X) = 9,6 − 2,7² = 2,31

Ответ

Var(X) = 2,31

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 3,708

Разброс X

μ = 3,15, Var(X) = 1,527, σ_X = 1,236

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·1,236 = 3,708

Ответ

σ_Y = 3,708

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·3,15 + 10 = 19,45.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6068

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

Площадь между

P = Φ(1,5) − Φ(−0,45) = 0,9332 − 0,3264 = 0,6068

Ответ

P = 0,6068

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 527 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Ответ

x = 526,98 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 7,579 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 19, t = 2,093

Предельная ошибка

E = 2,093·0,9/√20 = 0,4212

Интервал

8 ± 0,4212 → [7,579, 8,421]

Ответ

нижняя граница = 7,579 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 21,47 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (13·9,5² + 6·1,5²)/19 = 62,46

s_p = 7,903

Предельная ошибка

E = 2,861·7,903·√(1/14 + 1/7) = 10,47

Интервал

11 ± 10,47 → [0,5331, 21,47]

Ответ

верхняя граница = 21,47 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,099

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Статистика критерия

t = (43,36 − 50)/2,143 = −3,099

Ответ

t = −3,099

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 49,59

Предельная ошибка

E = 1,96·5/√81 = 1,089

Граница интервала

U = 48,5 + 1,089 = 49,59

Ответ

U = 49,59

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9722

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 329/6 = 54,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 227

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 778,8

Коэффициент корреляции

r = 227/√(70·778,8) = 0,9722

Ответ

r = 0,9722

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,686

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 438/6 = 73

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Линия регрессии

b = 134/17,5 = 7,657

a = 73 − 7,657·4,5 = 38,54

ŷ = 38,54 + 7,657·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 38,54 + 7,657·2,5 = 57,69

Остаток

e = 53 − 57,69 = −4,686

Ответ

e = −4,686

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 18,41

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 62·49/165 = 18,41

Ответ

E = 18,41

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 16,92

Степени свободы

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

Таблица

χ²_crit(df = 9, α = 0,05) = 16,919

Ответ

χ²_crit = 16,919

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology