Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Экологическая валидность означает:

AНасколько тест согласован во времени
BНасколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации
CВыглядит ли тест так, будто измеряет нужное
DПредсказывает ли тест будущее поведение

2.Методы исследования в психологииСложная

Увеличение объёма выборки в исследовании наиболее непосредственно:

AПовышает статистическую мощность для обнаружения реального эффекта
BУвеличивает размер эффекта
CУстраняет любое смещение выборки
DГарантирует статистически значимый результат, если эффект существует

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 38, 36, 16, 47, 32, 55.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 64?

μ = 70σ = 12x = 64

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35

σ =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,2, 0,15, 0,25, 0,15Y = 3X + 20

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8029. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8029

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 108 h, известное стандартное отклонение 16 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 98 h, известное стандартное отклонение 7 h. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 108 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 98 hσ₂ = 7 h95%

верхняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 18E = 395%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 8 студентов, средний балл 116, стандартное отклонение 7,5. Группа 2: 13 студентов, средний балл 118,7, стандартное отклонение 5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 8x̄₁ = 116s₁ = 7,5n₂ = 13x̄₂ = 118,7s₂ = 5

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 40 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 66 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 80x₂ = 66n₂ = 120

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 19). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 19)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Насколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

Почему это ответ

Экологическая валидность касается того, применимы ли результаты к повседневным ситуациям. У строго контролируемых лабораторных исследований она часто низкая.

Ответ

B · Насколько результаты обобщаются на реальные жизненные ситуации

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Повышает статистическую мощность для обнаружения реального эффекта

Почему это ответ

Более крупные выборки уменьшают стандартную ошибку и повышают мощность. Они не меняют истинный размер эффекта и не устраняют систематическое смещение.

Ответ

A · Повышает статистическую мощность для обнаружения реального эффекта

3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,35

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 224/6 = 37,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,6667² + (−1,333)² + (−21,33)² + 9,667² + (−5,333)² + 17,67² = 891,3

Стандартное отклонение

s = √(891,3/5) = 13,35

Ответ

s = 13,35

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

5.Вероятность

Ответ: σ = 1,244

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,35 = 2,45

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,35 = 7,55

Дисперсия

Var(X) = 7,55 − 2,45² = 1,548

σ = √1,548 = 1,244

Ответ

σ = 1,244

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,272

Разброс X

μ = 2,85, Var(X) = 2,027, σ_X = 1,424

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·1,424 = 4,272

Ответ

σ_Y = 4,272

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·2,85 + 20 = 28,55.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,29

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8029)/2 = 0,9015

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9015 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,29

Ответ

z = 1,29

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 246,6 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Ответ

x = 246,63 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 14,27 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 108 − 98 = 10

Стандартная ошибка

SE = √(16²/60 + 7²/100) = 2,181

Предельная ошибка

E = 1,96·2,181 = 4,275

Интервал

10 ± 4,275 → [5,725, 14,27]

Ответ

верхняя граница = 14,27 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 139

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·18/3)² = 138,3

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 139

Ответ

n = 139

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,9944

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (7·7,5² + 12·5²)/19 = 36,51

s_p = 6,043

Стандартная ошибка

SE = 6,043·√(1/8 + 1/13) = 2,715

Статистика критерия

t = (116 − 118,7)/2,715 = −0,9944

Ответ

t = −0,9944

При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −0,6941

Выборочные доли

p̂₁ = 40/80 = 0,5

p̂₂ = 66/120 = 0,55

p̂ = 106/200 = 0,53

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,53·0,47·(1/80 + 1/120)) = 0,07204

Статистика критерия

z = (0,5 − 0,55)/0,07204 = −0,6941

Ответ

z = −0,6941

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,8563

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 312/6 = 52

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 290

Коэффициент корреляции

r = 61/√(17,5·290) = 0,8563

Ответ

r = 0,8563

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5,05

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 76/5 = 15,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

Линия регрессии

b = −25/10 = −2,5

a = 15,2 − (−2,5)·3 = 22,7

ŷ = 22,7 − 2,5·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 22,7 + (−2,5)·3,5 = 13,95

Остаток

e = 19 − 13,95 = 5,05

Ответ

e = 5,05

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,911

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 80·45/180 = 20, 80·63/180 = 28, 80·72/180 = 32

сотрудники: 100·45/180 = 25, 100·63/180 = 35, 100·72/180 = 40

Статистика хи-квадрат

χ² = (16 − 20)²/20 + (27 − 28)²/28 + (37 − 32)²/32 + (29 − 25)²/25 + (36 − 35)²/35 + (35 − 40)²/40

χ² = 2,911

Ответ

χ² = 2,911

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 3,6

Ожидаемые частоты

завод A: 30, 30

завод B: 30, 30

завод C: 30, 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (27 − 30)²/30 + (33 − 30)²/30 + (27 − 30)²/30 + (33 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30 + (24 − 30)²/30

χ² = 3,6

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

3,6 < 5,991

Ответ

χ² = 3,6

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology