Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследование прошло предварительную регистрацию (preregistration). Это означает, что:

AГипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных
BИсследование уже опубликовано
CУчастники регистрируют своё согласие онлайн
DРезультаты проверены и одобрены вторым независимым статистиком до публикации

2.Методы исследования в психологииСложная

В исследованиях подчинения Милгрэма участники считали, что наносят настоящие удары током. Какая этическая проблема возникает наиболее непосредственно и как её частично решали?

AОтсутствие конфиденциальности; решалась публикацией имён
BОбман и возможный дистресс; решалась тщательным дебрифингом
CОтсутствие контрольной группы; решалась случайным распределением участников по условиям
DУчастие детей; решалась согласием родителей

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 59, 24, 45, 47, 57, 42, 38.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 90?

μ = 100σ = 5x = 90

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,25

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 12p = 0,5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,4647. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,4647

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 20 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 20s = 1299%t(20) = 2,845

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 7,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.

n = 25s = 7,2 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 112,8 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 112,8s = 20n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 28. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 3σ = 28z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 7.

n = 6x = 7

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 8 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

Почему это ответ

Предварительная регистрация разделяет подтверждающие и разведочные анализы и уменьшает такие практики, как p-hacking и HARKing.

Ответ

A · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Обман и возможный дистресс; решалась тщательным дебрифингом

Почему это ответ

Участников обманывали относительно ударов, и многие испытывали сильный стресс. Милгрэм проводил дебрифинг и знакомил участников с «учеником»; последующий опрос показал, что большинство были рады участию, но этичность исследований по-прежнему обсуждается.

Ответ

B · Обман и возможный дистресс; решалась тщательным дебрифингом

3.Описательная статистика

Ответ: s = 11,84

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 312/7 = 44,57

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 14,43² + (−20,57)² + 0,4286² + 2,429² + 12,43² + (−2,571)² + (−6,571)² = 841,7

Стандартное отклонение

s = √(841,7/6) = 11,84

Ответ

s = 11,84

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 134,8

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,3 + 20·0,1 + 30·0,35 + 40·0,25 = 25,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,1 + 900·0,35 + 1600·0,25 = 785

Дисперсия

Var(X) = 785 − 25,5² = 134,8

Ответ

Var(X) = 134,8

6.Вероятность

Ответ: P = 0,003174

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

Сложите

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

Ответ

P = 0,003174

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,62

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,4647)/2 = 0,7324

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,7324 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,62

Ответ

z = 0,62

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 189,5 cm

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Ответ

x = 189,51 cm

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 27,45

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Предельная ошибка

E = 2,845·12/√21 = 7,45

Интервал

20 ± 7,45 → [12,55, 27,45]

Ответ

верхняя граница = 27,45

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 5,622 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 24·7,2² = 1244

Границы для σ²

1244/39,364 = 31,61

1244/12,401 = 100,3

Граница для σ

σ = √31,61 = 5,622 µm

Ответ

σ = 5,622 µm

95 % интервал для σ: [5,622, 10,02] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Статистика критерия

t = (112,8 − 120)/4 = −1,8

Ответ

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 539

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·28/3)² = 538,8

Округлите вверх

n = 539

Ответ

n = 539

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8582

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 98

Коэффициент детерминации

r² = −29²/(10·98) = 0,8582

Ответ

r² = 0,8582

Прямая объясняет около 85,82% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 58,67

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 352/6 = 58,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 380

Линия регрессии

b = 380/70 = 5,429

a = 58,67 − 5,429·7 = 20,67

ŷ = 20,67 + 5,429·x

Прогноз

ŷ = 20,67 + 5,429·7 = 58,67

Ответ

ŷ = 58,67

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 17,91

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 120·36/180 = 24, 120·54/180 = 36, 120·90/180 = 60

ночная смена: 60·36/180 = 12, 60·54/180 = 18, 60·90/180 = 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (21 − 24)²/24 + (26 − 36)²/36 + (73 − 60)²/60 + (15 − 12)²/12 + (28 − 18)²/18 + (17 − 30)²/30

χ² = 17,91

Ответ

χ² = 17,91

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 16,81

Степени свободы

df = 8 − 1 − 1 = 6

Таблица

χ²_crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812

Ответ

χ²_crit = 16,812

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology