Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Стандартизированные инструкции используют в эксперименте для того, чтобы:

AУчастники могли сами выбирать условия
BРезультаты стали статистически значимыми
CВсе участники получали одинаковую информацию одинаковым образом
DИсследователь мог подстраивать процедуру под потребности каждого участника

2.Методы исследования в психологииСложная

Пациенты, отобранные из-за крайне высоких показателей тревожности, при повторном тестировании показывают более низкие результаты даже без лечения. Каково наиболее вероятное объяснение?

AХоторнский эффект
BКонтрбалансировка
CЭффект потолка
DРегрессия к среднему

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 48, 26, 29, 17, 41, 23, 35.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Найдите z-оценку z для результата 450.

μ = 500σ = 50x = 450

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3

σ =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €4 с вероятностью 0,25 и €50 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€4: p = 0,25€50: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 30,8 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30,8 min

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 89,5 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 89,5s = 16,595%t(6) = 2,447

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 7. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 7E = 0,595%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 212 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 212s = 20n = 16

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 501,9. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 501,9σ = 8n = 8190%

L =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 147Σy = 650Σx² = 3759Σy² = 74490Σxy = 16717

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 26?

n = 5ŷ = 26

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 4 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

3 × 4

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Все участники получали одинаковую информацию одинаковым образом

Почему это ответ

Стандартизация устраняет вариации процедуры как постороннюю переменную и делает исследование воспроизводимым.

Ответ

C · Все участники получали одинаковую информацию одинаковым образом

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Регрессия к среднему

Почему это ответ

Когда людей отбирают по экстремальным значениям, ошибка измерения и случайность приводят к тому, что их последующие результаты смещаются к среднему. Контрольные группы помогают отделить это от эффекта лечения.

Ответ

D · Регрессия к среднему

3.Описательная статистика

Ответ: s = 10,75

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 219/7 = 31,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 16,71² + (−5,286)² + (−2,286)² + (−14,29)² + 9,714² + (−8,286)² + 3,714² = 693,4

Стандартное отклонение

s = √(693,4/6) = 10,75

Ответ

s = 10,75

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Стандартизуйте

z = (450 − 500)/50 = −1

Ответ

z = −1

5.Вероятность

Ответ: σ = 2,458

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,3 = 2,6

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,3 = 12,8

Дисперсия

Var(X) = 12,8 − 2,6² = 6,04

σ = √6,04 = 2,458

Ответ

σ = 2,458

6.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,5 €

Чистые исходы

G: 3 (p = 0,25), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,74)

Математическое ожидание

E(G) = 3·0,25 + 49·0,01 − 1·0,74 = 0,5 €

Ответ

E(G) = 0,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6844

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844

Ответ

P = 0,6844

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 243,6 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Ответ

x = 243,59 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 15,26

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Предельная ошибка

E = 2,447·16,5/√7 = 15,26

Ответ

E = 15,26

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 753

Выразите n

n = (1,96·7/0,5)² = 753

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 753

Ответ

n = 753

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Статистика критерия

t = (212 − 200)/5 = 2,4

Ответ

t = 2,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 500,4

Предельная ошибка

E = 1,645·8/√81 = 1,462

Граница интервала

L = 501,9 − 1,462 = 500,4

Ответ

L = 500,4

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9888

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 16717 − 147·650/6 = 792

S_xx = 3759 − 147²/6 = 157,5

S_yy = 74490 − 650²/6 = 4073

Коэффициент корреляции

r = 792/√(157,5·4073) = 0,9888

Ответ

r = 0,9888

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,3

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 123/5 = 24,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Линия регрессии

b = −20/10 = −2

a = 24,6 − (−2)·3 = 30,6

ŷ = 30,6 − 2·x

Найдите x

x = (26 − 30,6)/(−2) = 2,3

Ответ

x = 2,3

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 7,594

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60

плацебо: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (31 − 40)²/40 + (69 − 60)²/60 + (41 − 32)²/32 + (39 − 48)²/48

χ² = 7,594

Ответ

χ² = 7,594

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 6

Степени свободы

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Ответ

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology