Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Надёжность расщепления (split-half) предполагает:

AТестирование двух половин выборки в разное время
BСравнение результатов по двум половинам одного теста для проверки внутренней согласованности
CРазделение выборки на экспериментальную и контрольную группы и сравнение их баллов
DИспользование двух наблюдателей, каждый на половине сеансов

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследовательница сравнивает три или более групповых средних. Почему она использует однофакторный дисперсионный анализ, а не несколько t-критериев?

At-критерии не работают с числами больше 100
BДисперсионный анализ всегда находит более крупные эффекты, чем эквивалентный набор t-критериев
CНесколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода
Dt-критериям нужны качественные данные

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 52, 24, 59, 42.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 152?

μ = 170σ = 15x = 152

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,25, 0,25

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €2 с вероятностью 0,1 и €20 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€2: p = 0,1€20: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них меньше 401,9 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10< 401.9 g

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5,3. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по тем же данным?

95%n₁ = 100E₁ = 5,399%

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 16 участков, средний урожай 52 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Группа участков 2: 15 участков, среднее 53,5 kg, стандартное отклонение 3 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 16x̄₁ = 52s₁ = 9,5n₂ = 15x̄₂ = 53,5s₂ = 390%t(29) = 1,699

верхняя граница = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 101,2 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,2s = 5n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 45 из 300 пациентов, получавших лечение A, и 4 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 4n₂ = 80

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 59). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 59)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «село, средний».

итог по строке = 80итог по столбцу = 32N = 141

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 11 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Сравнение результатов по двум половинам одного теста для проверки внутренней согласованности

Почему это ответ

Если обе половины измеряют один и тот же конструкт, результаты по ним должны сильно коррелировать. Альфа Кронбаха распространяет эту идею на все возможные разбиения.

Ответ

B · Сравнение результатов по двум половинам одного теста для проверки внутренней согласованности

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Несколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода

Почему это ответ

Много попарных тестов умножают шанс ложноположительного результата. ANOVA проверяет все группы вместе, после чего проводят скорректированные post hoc тесты.

Ответ

C · Несколько t-критериев раздувают общую вероятность ошибки I рода

3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,79

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 212/5 = 42,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−7,4)² + 9,6² + (−18,4)² + 16,6² + (−0,4)² = 761,2

Стандартное отклонение

s = √(761,2/4) = 13,79

Ответ

s = 13,79

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 5,76

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 2·0,15 + 4·0,25 + 6·0,25 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,15 + 16·0,25 + 36·0,25 = 13,6

Дисперсия

Var(X) = 13,6 − 2,8² = 5,76

Ответ

Var(X) = 5,76

6.Вероятность

Ответ: E(G) = −0,4 €

Чистые исходы

G: 1 (p = 0,1), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)

Математическое ожидание

E(G) = 1·0,1 + 19·0,02 − 1·0,88 = −0,4 €

Ответ

E(G) = −0,4 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (401,9 − 400)/3,795 = 0,5

Вероятность

P = Φ(0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 578,4 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Ответ

x = 578,4 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 6,966

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/100) = 1,314

Новая предельная ошибка

E₂ = 5,3·1,314 = 6,966

Ответ

E₂ = 6,966

10.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 2,862 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (15·9,5² + 14·3²)/29 = 51,03

s_p = 7,143

Предельная ошибка

E = 1,699·7,143·√(1/16 + 1/15) = 4,362

Интервал

−1,5 ± 4,362 → [−5,862, 2,862]

Ответ

верхняя граница = 2,862 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,16

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерия

t = (101,2 − 100)/0,5556 = 2,16

Ответ

t = 2,16

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,371

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 45/300 = 0,15

p̂₂ = 4/80 = 0,05

p̂ = 49/380 = 0,1289

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,1289·0,8711·(1/300 + 1/80)) = 0,04217

Статистика критерия

z = (0,15 − 0,05)/0,04217 = 2,371

Ответ

z = 2,371

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9785

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 110/5 = 22

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 94

Коэффициент корреляции

r = −30/√(10·94) = −0,9785

Ответ

r = −0,9785

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,2

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 308/5 = 61,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

Линия регрессии

b = 32/10 = 3,2

a = 61,6 − 3,2·4 = 48,8

ŷ = 48,8 + 3,2·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 48,8 + 3,2·4,5 = 63,2

Остаток

e = 59 − 63,2 = −4,2

Ответ

e = −4,2

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 18,16

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 80·32/141 = 18,16

Ответ

E = 18,16

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 23,21

Степени свободы

df = 11 − 1 = 10

Таблица

χ²_crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Ответ

χ²_crit = 23,209

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology