โจทย์ฝึก AP Physics 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง: a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง: F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม: ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน: v_max = √(μ·g·r)

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

สปริงและลูกตุ้ม

มวลติดสปริง: T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม: T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม: ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
พลังงาน: E = ½·k·A²

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 15 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 3.5 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 15 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

จรวดจำลองถูกยิงขึ้นตรง ๆ จากหยุดนิ่ง เครื่องยนต์ให้ความเร่งขึ้นคงที่ 22 m/s² เป็นเวลา 1.5 s หลังจากนั้นเครื่องยนต์หยุดและจรวดเคลื่อนที่อย่างอิสระ ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด h_max ที่จรวดขึ้นไปถึง

a = 22 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 14 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 14 kgθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 25° ด้วยอัตราเร็ว 4.5 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 4.5 m/sθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 30° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 20 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 20° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 29 m/sθ = 20°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมปานกลาง

ในเครื่องเล่นโรเตอร์ในงานรื่นเริง ผู้เล่นยืนพิงผนังของกระบอกแนวดิ่งรัศมี 2.8 m เมื่อหมุนเร็วพอ พื้นจะเลื่อนลงและแรงเสียดทานพยุงผู้เล่นไว้ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตคือ 0.8 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการหมุนที่น้อยที่สุด n ในหน่วยรอบต่อนาที

r = 2.8 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลมยาก

ทางโค้งรัศมี 150 m เอียง 8° และสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต่ำสุด v_min ที่รถผ่านทางโค้งได้โดยไม่ไถลลงตามทางเอียง

r = 150 mθ = 8°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.งานและพลังงานปานกลาง

ลูกบอล 2 kg แขวนบนเชือกเบายาว 1.5 m ดึงไปด้านข้างจนเชือกทำมุม 90° กับแนวดิ่งแล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาแรงตึง T ในเชือกเมื่อลูกบอลผ่านจุดต่ำสุด

m = 2 kgL = 1.5 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

10.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 2 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 20° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 15 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 10 m

m = 2 kgF = 15 Nθ = 20°μ = 0.15d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 20 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 22 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 20 gM = 1.5 kgh = 22 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.4 kg กระทบผนังด้วย 9 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 12 m/s การสัมผัสใช้เวลา 20 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.4 kgv_in = 9 m/sv_out = 12 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.สปริงและลูกตุ้มปานกลาง

มวล 4 kg บนสปริง k = 160 N/m ถูกดึงไป 7 cm ในทิศบวกและปล่อยจากหยุดนิ่งที่ t = 0 จงหาการกระจัด x จากตำแหน่งสมดุลที่ t = 0.2 s (พร้อมเครื่องหมาย)

m = 4 kgk = 160 N/mA = 7 cmt = 0.2 s

x = cm

14.สปริงและลูกตุ้มยาก

มวล 1.9 kg บนสปริงที่ k = 230 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 8 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด a_max

m = 1.9 kgk = 230 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 8.571 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·15/3.5 = 8.571 s

คำตอบ

t = 8.571 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 30 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 80.25 m

ช่วงที่มีแรงขับ

v₁ = 22·1.5 = 33 m/s

h₁ = ½·22·1.5² = 24.75 m

บินอิสระขึ้น

ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์

Δh = v₁²/(2g) = 33²/(2·9.81) = 55.5 m

h_max = 24.75 + 55.5 = 80.25 m

คำตอบ

h_max = 80.25 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.051 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 40° − 0.3·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.2298) = 4.051 m/s²

คำตอบ

a = 4.051 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 2.011 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 25° + 0.1·cos 25°) = 5.035 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·5.035) = 2.011 m

คำตอบ

d = 2.011 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 35.31 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 30° = 17.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 30° = 10 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·10/9.81 = 2.039 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 17.32·2.039 = 35.31 m

คำตอบ

x = 35.31 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 105.4 m

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 20° = 27.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 20° = 9.919 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 35 + 9.919·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.919 + √(98.38 + 686.7))/9.81 = 3.867 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 27.25·3.867 = 105.4 m

คำตอบ

x = 105.4 m

7.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: n = 19.98 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

แรงที่กระทำต่อผู้เล่น

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

อัตราเร็วเชิงมุม

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·2.8)) = 2.093 rad/s

อัตราการหมุน

n = ω·60/(2π) = 19.98 rpm

คำตอบ

n = 19.98 rpm

8.การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

คำตอบ: v_min = 7.67 m/s

สมดุลแรง

แรงเสียดทานชี้ขึ้นตามเนิน

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

อัตราเร็ว

v = √(150·9.81·0.04015/1.004) = 7.67 m/s

คำตอบ

v_min = 7.67 m/s

(27.61 km/h)

9.งานและพลังงาน

คำตอบ: T = 58.86 N

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r

อัตราเร็วที่ด้านล่าง

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 90°) = 29.43 m²/s²

แรงที่ด้านล่าง

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·29.43/1.5 = 58.86 N

คำตอบ

T = 58.86 N

ตรวจสอบ: T = mg(3 − 2cos θ) = 58.86 N

10.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 7.432 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 6.71 N

μ·mg·cos θ = 2.766 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (15 − 9.476)·10 = 55.24 J

v = √(2·55.24/2) = 7.432 m/s

คำตอบ

v = 7.432 m/s

11.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 157.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.22) = 2.078 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 1.5)·2.078/0.02 = 157.9 m/s

คำตอบ

v = 157.9 m/s

12.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 8.4 N·s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.4·(12 + 9) = 8.4 N·s

คำตอบ

J = 8.4 N·s

13.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: x = 2.108 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

ความถี่เชิงมุม

ω = √(160/4) = 6.325 rad/s

ω·t = 6.325·0.2 = 1.265 rad

การกระจัด

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(1.265) = 2.108 cm

คำตอบ

x = 2.108 cm

14.สปริงและลูกตุ้ม

คำตอบ: a_max = 9.684 m/s²

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(230/1.9) = 11 rad/s

ความเร่งสูงสุด

a_max = A·ω² = 0.08·11² = 9.684 m/s²

คำตอบ

a_max = 9.684 m/s²

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice