สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
โจทย์ฝึก AP Statistics: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การทดสอบไคสแควร์
- ตัวสถิติทดสอบ
- χ² = Σ(O − E)²/E
- ความเหมาะสมของแบบจำลอง
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- ความเป็นอิสระ
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- ค่าวิกฤต (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- การตัดสินใจ
- ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit
2โจทย์ฝึก
1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 39, 52, 24, 10, 55
n = 5
s =
2.สถิติเชิงพรรณนายาก
คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 60 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 575
μ = 500σ = 60x = 575
z =
3.ความน่าจะเป็นปานกลาง
ทอดลูกเต๋ายุติธรรม 5 ครั้ง ความน่าจะเป็น P ที่จะได้เลขหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือเท่าใด
n = 5
P =
4.ความน่าจะเป็นยาก
ข้อสอบมีคำถามปรนัย 5 ข้อ นักเรียนที่เดาจะตอบถูกแต่ละข้อด้วยความน่าจะเป็น 0.1 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่จะตอบถูกพอดี 2 ข้อคือเท่าใด
n = 5p = 0.1k = 2
P =
5.การแจกแจงปกติปานกลาง
X มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 12 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.5 min Y เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 20 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 min จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X + Y มากกว่า 35.8 min ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 35.8 min
P =
6.การแจกแจงปกติยาก
คะแนนสอบ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนล่าง 75% ที่แรเงาอยู่ทางซ้าย หาค่าตัด x
μ = 65 คะแนนσ = 10 คะแนน75%
x = คะแนน
7.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r
n = 6
r =
8.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 64 ที่ค่า x ใด
n = 5ŷ = 64
x =
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
ตัวอย่าง 21 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 91 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 6 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย
n = 21x̄ = 91s = 690%t(20) = 1.725
ขีดจำกัดบน =
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
การศึกษานำร่องชี้ว่าสินค้าประมาณ 0.1 บกพร่อง ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.04
p ≈ 0.1E = 0.0499%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
เปรียบเทียบวิธีสอนสองวิธี กลุ่มที่ 1: นักเรียน 17 คน คะแนนเฉลี่ย 57.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 4.5 กลุ่มที่ 2: นักเรียน 5 คน คะแนนเฉลี่ย 49.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 9.5 สมมติความแปรปรวนประชากรเท่ากันและใช้การทดสอบ t สองตัวอย่างแบบรวมความแปรปรวน จงหาค่าสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ₁ = μ₂ โดยให้ผลต่างเป็น x̄₁ − x̄₂ (กลุ่มที่ 1 ลบกลุ่มที่ 2)
n₁ = 17x̄₁ = 57.5s₁ = 4.5n₂ = 5x̄₂ = 49.2s₂ = 9.5
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
ตัวอย่างการวัด 100 ค่ามีค่าเฉลี่ย 499.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 8 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย
x̄ = 499.2σ = 8n = 10095%
L =
13.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง
N = 2002 × 2
χ² =
14.การทดสอบไคสแควร์ยาก
ทำการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์กับตารางการณ์จรที่มี 2 แถวและ 4 หลัก (ไม่นับแถวและหลักรวม) จากตาราง จงหาค่าวิกฤต χ²crit ที่ระดับนัยสำคัญ α = 0.01
α = 0.01
χ²crit =
3สารละลาย
1.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 19.01
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 180/5 = 36
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = 3² + 16² + (−12)² + (−26)² + 19² = 1446
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(1446/4) = 19.01
คำตอบ
s = 19.01
2.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: z = 1.25
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (575 − 500)/60 = 1.25
คำตอบ
z = 1.25
3.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: P = 0.5981
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
ส่วนเติมเต็ม
P(ไม่ได้เลขหก) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
คำตอบ
P = 0.5981
4.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: P = 0.0729
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
สูตรทวินาม
P(X = 2) = 10·0.12·0.93 = 10·0.01·0.729 = 0.0729
คำตอบ
P = 0.0729
5.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.06426
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
การแจกแจงของผลรวม
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (35.8 − 32)/2.5 = 1.52
หางด้านบน
P = 1 − Φ(1.52) = 1 − 0.9357 = 0.06426
คำตอบ
P = 0.06426
6.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: x = 71.7 คะแนน
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
พื้นที่ทางซ้าย
Φ(z) = 0.75
z จากตาราง
z ≈ 0.67
กลับเป็นหน่วยเดิม
x = 65 + 0.67·10 = 71.7 คะแนน
คำตอบ
x = 71.7 คะแนน
7.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = 0.9926
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 129/6 = 21.5
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 203
Syy = Σ(y − ȳ)² = 597.5
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = 203/√(70·597.5) = 0.9926
คำตอบ
r = 0.9926
8.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: x = 3.558
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 337/5 = 67.4
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77
เส้นถดถอย
b = 77/10 = 7.7
a = 67.4 − 7.7·4 = 36.6
ŷ = 36.6 + 7.7·x
แก้หา x
x = (64 − 36.6)/7.7 = 3.558
คำตอบ
x = 3.558
9.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 93.26
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
ค่าวิกฤต
df = n − 1 = 20, t = 1.725
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 1.725·6/√21 = 2.259
ช่วง
91 ± 2.259 → [88.74, 93.26]
คำตอบ
ขีดจำกัดบน = 93.26
10.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 374
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
แก้หา n
n = 2.576²·0.1·0.9/0.04² = 373.3
ปัดขึ้น
n = 374
คำตอบ
n = 374
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: t = 2.788
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
ความแปรปรวนรวม
sp² = (16·4.5² + 4·9.5²)/20 = 34.25
sp = 5.852
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = 5.852·√(1/17 + 1/5) = 2.977
ตัวสถิติทดสอบ
t = (57.5 − 49.2)/2.977 = 2.788
คำตอบ
t = 2.788
เมื่อ df = 20 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.086 |t| มากกว่า จึงปฏิเสธ H₀
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: L = 497.6
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 1.96·8/√100 = 1.568
ขีดจำกัดของช่วง
L = 499.2 − 1.568 = 497.6
คำตอบ
L = 497.6
13.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: χ² = 18
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ความถี่ที่คาดหวัง
ชาย: 100·100/200 = 50, 100·100/200 = 50
หญิง: 100·100/200 = 50, 100·100/200 = 50
ค่าสถิติไคสแควร์
χ² = (35 − 50)²/50 + (65 − 50)²/50 + (65 − 50)²/50 + (35 − 50)²/50
χ² = 18
คำตอบ
χ² = 18
df = 1 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 3.841 ดังนั้น ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)
14.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: χ²crit = 11.35
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
องศาเสรี
df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3
ตาราง
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
คำตอบ
χ²crit = 11.345
ปฏิเสธ H₀ ถ้าค่า χ² ที่คำนวณได้มากกว่าค่านี้
ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice