สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
โจทย์ฝึก AP Statistics: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การทดสอบไคสแควร์
- ตัวสถิติทดสอบ
- χ² = Σ(O − E)²/E
- ความเหมาะสมของแบบจำลอง
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- ความเป็นอิสระ
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- ค่าวิกฤต (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- การตัดสินใจ
- ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit
2โจทย์ฝึก
1.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 23, 15, 15, 21, 12, 53, 52
n = 7
s =
2.สถิติเชิงพรรณนายาก
ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 179 คือเท่าใด
μ = 170σ = 15x = 179
P =
3.ความน่าจะเป็นปานกลาง
ทอดลูกเต๋ายุติธรรม 3 ครั้ง ความน่าจะเป็น P ที่จะได้เลขหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือเท่าใด
n = 3
P =
4.ความน่าจะเป็นยาก
ทดสอบชิ้นส่วน 9 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.5 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด
n = 9p = 0.5
P =
5.การแจกแจงปกติปานกลาง
ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.7923 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง
A = 0.7923
z =
6.การแจกแจงปกติยาก
เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.05 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.02 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
รู: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r
n = 5
r =
8.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 22
n = 6x = 22
ŷ =
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
ตัวอย่าง 21 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 65.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 12.5 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาค่าความคลาดเคลื่อน E ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย
n = 21x̄ = 65.5s = 12.599%t(20) = 2.845
E =
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
การศึกษานำร่องชี้ว่าสินค้าประมาณ 0.1 บกพร่อง ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.04
p ≈ 0.1E = 0.0499%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
ค่าเฉลี่ยของประชากรถูกอ้างว่าเป็น 250 ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็น 36 สุ่มตัวอย่าง 144 ค่า ได้ค่าเฉลี่ย 254.5 ทดสอบ H₀: μ = 250 เทียบกับ H₁: μ > 250 จงหาค่า p p
μ₀ = 250σ = 36n = 144x̄ = 254.5H₁: μ > μ₀
p =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
ต้องใช้ขนาดตัวอย่างเท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 0.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 12 หาขนาดตัวอย่างที่น้อยที่สุด n
σ = 12E = 0.599%
n =
13.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์ จงหาความถี่ที่คาดหวัง E ของช่อง “เจ้าหน้าที่, รถยนต์”
ผลรวมแถว = 90ผลรวมหลัก = 74N = 181
E =
14.การทดสอบไคสแควร์ยาก
ตารางแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงทดสอบที่ α = 0.01 ว่าตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ (ไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง) จงคำนวณค่าสถิติทดสอบ χ² แล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตจากตาราง
N = 2203 × 2α = 0.01
χ² =
3สารละลาย
1.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 17.63
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 191/7 = 27.29
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = (−4.286)² + (−12.29)² + (−12.29)² + (−6.286)² + (−15.29)² + 25.71² + 24.71² = 1865
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(1865/6) = 17.63
คำตอบ
s = 17.63
2.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: P = 0.2743
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = 0.6
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
คำตอบ
P = 0.2743
3.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: P = 0.4213
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
ส่วนเติมเต็ม
P(ไม่ได้เลขหก) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
คำตอบ
P = 0.4213
4.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: P = 0.01953
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น
P(X = 0) = 0.59 = 0.001953
P(X = 1) = 9·0.5·0.58 = 0.01758
บวกเข้าด้วยกัน
P = 0.001953 + 0.01758 = 0.01953
คำตอบ
P = 0.01953
5.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: z = 1.26
จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ
พื้นที่ทางซ้ายของ z
Φ(z) = (1 + 0.7923)/2 = 0.8962
อ่านตาราง z ย้อนกลับ
หา 0.8962 ในตารางและอ่านค่า z
z = 1.26
คำตอบ
z = 1.26
6.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.9772
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
การแจกแจงของผลต่าง
μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (0 − 0.05)/0.025 = −2
ความน่าจะเป็น
P = 1 − Φ(−2) = 0.9772
คำตอบ
P = 0.9772
7.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = 0.9864
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 48/5 = 9.6
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48
Syy = Σ(y − ȳ)² = 59.2
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = 48/√(40·59.2) = 0.9864
คำตอบ
r = 0.9864
8.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: ŷ = 108.2
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 649/6 = 108.2
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 337
เส้นถดถอย
b = 337/70 = 4.814
a = 108.2 − 4.814·22 = 2.252
ŷ = 2.252 + 4.814·x
การทำนาย
ŷ = 2.252 + 4.814·22 = 108.2
คำตอบ
ŷ = 108.2
9.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: E = 7.76
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
ค่าวิกฤต
df = n − 1 = 20, t = 2.845
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 2.845·12.5/√21 = 7.76
คำตอบ
E = 7.76
10.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 374
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
แก้หา n
n = 2.576²·0.1·0.9/0.04² = 373.3
ปัดขึ้น
n = 374
คำตอบ
n = 374
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: p = 0.06681
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
ตัวสถิติทดสอบ
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (254.5 − 250)/3 = 1.5
พื้นที่หาง
Φ(1.5) = 0.9332
1 − Φ(1.5) = 0.0668
ค่า p
p = 0.06681
คำตอบ
p = 0.06681
p > 0.05 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5%
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 3823
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
แก้หา n
n = (2.576·12/0.5)² = 3822
ปัดขึ้น
n = 3823
คำตอบ
n = 3823
13.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: E = 36.8
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ความถี่ที่คาดหวัง
E = 90·74/181 = 36.8
คำตอบ
E = 36.8
14.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: χ² = 9.357
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ความถี่ที่คาดหวัง
โรงงาน A: 12, 28
โรงงาน B: 30, 70
โรงงาน C: 24, 56
ค่าสถิติไคสแควร์
χ² = (9 − 12)²/12 + (31 − 28)²/28 + (23 − 30)²/30 + (77 − 70)²/70 + (34 − 24)²/24 + (46 − 56)²/56
χ² = 9.357
การตัดสินใจ
df = 2, χ²crit = 9.210
9.357 > 9.210
คำตอบ
χ² = 9.357
χ² มากกว่าค่าวิกฤต จึงปฏิเสธ H₀: ตัวแปรทั้งสองดูเหมือนมีความสัมพันธ์กัน
ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice