แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (6x² + 7)/(3x² + 3x + 6)

f(x) = (6x² + 7)/(3x² + 3x + 6)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x²

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(2x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(0.5)

f(x) = x·sin(2x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 3x² + 2 ที่ x = 3 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 3x² + 2x = 3

b =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 1000 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาความสูง h ของกระป๋องที่ใช้วัสดุน้อยที่สุด

V = 1000 cm³

h = cm

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 900 ใบต่อรอบ ใบละ €10 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 25 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 25 ใบ) จงหารายได้สูงสุด R ต่อรอบ

900 × €1025 / €1

R = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀¹ e^−0.5x dx

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x² และ y = x

y = x²y = x

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(6 + 7/x²)/(3 + 3/x + 6/x²)

ให้ x → ∞

L = 6/3 = 2

คำตอบ

L = 2

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 2

ใช้ครั้งแรก

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

4·e^−2x/2

แทนค่า x = 0

L = 4·1/2 = 2

คำตอบ

L = 2

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 1.382

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

แทนค่า

f′(0.5) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

คำตอบ

f′(0.5) = 1.382

4.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −25

จุดและความชัน

f(3) = 29

f′(x) = 6x → f′(3) = 18

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 29 − 18·3 = −25

คำตอบ

b = −25

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: h = 10.84 cm

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5.419 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 1000/(π·5.419²) = 2r = 10.84 cm

A = 2π·5.419² + 2000/5.419 = 553.6 cm²

คำตอบ

h = 10.84 cm

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: R = 13225 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 1150 − 25p

R(p) = 1150p − 25p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −50 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 1150/50 = €23

รายได้สูงสุด

n = 1150 − 25·23 = 575

R = 23·575 = €13225

คำตอบ

R = €13225

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.7869

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

คำตอบ

I = 0.7869

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 0.1667

จุดตัด

x² = x → x = 0, x = 1

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

คำตอบ

A = 0.1667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1