แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (3x² − 2x − 4)/(2x² + x + 9)

f(x) = (3x² − 2x − 4)/(2x² + x + 9)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x²

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x²·e^−x หา f′(1)

f(x) = x²·e^−xx = 1

f′(1) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 9x² + 24x − 6 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 9x² + 24x − 6

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

กระป๋องทรงกระบอกปิด (มีทั้งฝาบนและก้น) ต้องจุ 750 cm³ โลหะที่ใช้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวทั้งหมด จงหาพื้นที่ผิวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ A

V = 750 cm³

A = cm²

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

บริษัทขายสินค้า q หน่วยต่อสัปดาห์ ราคาที่ขายได้คือ p = 190 − 0.5q ยูโรต่อหน่วย และต้นทุนคือ C(q) = 6800 + 40q ยูโร จงหาราคา p ที่ทำให้กำไรสูงสุด

p = 190 − 0.5qC = 6800 + 40q

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

8.อินทิกรัลยาก

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 6x กับพาราโบลา y = 2x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 6xy = 2x²

V =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = 1.5

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(3 + (−2)/x + (−4)/x²)/(2 + 1/x + 9/x²)

ให้ x → ∞

L = 3/2 = 1.5

คำตอบ

L = 1.5

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 4.5

ใช้ครั้งแรก

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

9·e^3x/2

แทนค่า x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

คำตอบ

L = 4.5

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 0.3679

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(2x + (−1)·x²)

แทนค่า

f′(1) = 0.3679·(2 + (−1)) = 0.3679

คำตอบ

f′(1) = 0.3679

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 4

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 2 หรือ x = 4

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 18: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

คำตอบ

x = 4

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: A = 457 cm²

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

พื้นที่เป็นฟังก์ชันของ r

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4.924 cm

ความสูงและพื้นที่

h = 750/(π·4.924²) = 2r = 9.847 cm

A = 2π·4.924² + 1500/4.924 = 457 cm²

คำตอบ

A = 457 cm²

กระป๋องปิดที่ประหยัดที่สุดมีความสูงเท่ากับความกว้าง: h = 2r

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 115 €

ฟังก์ชันกำไร

P(q) = (190 − 0.5q)·q − (6800 + 40q) = −0.5q² + 150q − 6800

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

P″(q) = −1 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

q = 150/1 = 150

ราคาและกำไร

p = 190 − 0.5·150 = €115

P = 150·150 − 0.5·150² − 6800 = €4450

คำตอบ

p = €115

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 41.33

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

การแทนค่า

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

อินทิเกรตและคำนวณค่า

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41.33

คำตอบ

I = 41.33

8.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 407.2

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

6x = 2x² → x = 0, x = 3

วิธีวงแหวน

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129.6 = 407.2

คำตอบ

V = 407.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1