แคลคูลัส 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ลิมิต

การแทนค่าโดยตรง: ลองแทน x = a ก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ลดรูป
แยกตัวประกอบและตัดกัน: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
สังยุค: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
ลิมิตที่อนันต์: หารด้วยกำลังสูงสุดของ x ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
ลิมิตพิเศษ: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
กฎของโลปีตาล: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

การหาค่าเหมาะที่สุด

วิธีการ: เขียน Q(x) ด้วยตัวแปรเดียว แก้ Q′(x) = 0 ตรวจสอบ Q″ หรือจุดปลาย
สูงสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
ต่ำสุด: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ทรงกระบอกปิด: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
กำไร: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

2โจทย์ฝึก

1.ลิมิตปานกลาง

หาลิมิต L = lim_x→∞ (−6x² + x + 1)/(3x² + 5x + 7)

f(x) = (−6x² + x + 1)/(3x² + 5x + 7)x → ∞

L =

2.ลิมิตยาก

จงหาลิมิต L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(2x²) เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0

L =

3.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x·sin(3x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(0.5)

f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 12x หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 12x

x =

5.การหาค่าเหมาะที่สุดปานกลาง

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ 800 m² ล้อมรั้วทั้งสี่ด้าน ด้านที่ติดถนนยาว x มีราคาเมตรละ €20 ส่วนอีกสามด้านมีราคาเมตรละ €10 จงหาต้นทุนรวมต่ำสุด C

A = 800 m²€20/m€10/m

C = €

6.การหาค่าเหมาะที่สุดยาก

โรงละครขายตั๋ว 190 ใบต่อรอบ ใบละ €10 การวิจัยตลาดแสดงว่าทุกครั้งที่ราคาตั๋วเพิ่มขึ้น €1 จะขายได้น้อยลง 10 ใบ (และทุกครั้งที่ลดลง €1 จะขายได้เพิ่มขึ้น 10 ใบ) จงหาราคาตั๋ว p ที่ทำให้รายได้สูงสุด

190 × €1010 / €1

p = €

7.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₂⁴ 1/x dx

f(x) = 1/x[2, 4]

I =

8.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 4 − x² กับแกน x

y = 4 − x²

A =

3สารละลาย

1.ลิมิต

คำตอบ: L = −2

ลิมิต: ลองแทนค่าโดยตรงก่อน ถ้าได้ 0/0 ให้ทำให้เรียบง่ายก่อน: แยกตัวประกอบแล้วตัดตัวประกอบร่วม หรือคูณด้วยสังยุค เมื่อ x → ∞ ให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x กฎโลปีตาล: ถ้า f/g ให้ 0/0 หรือ ∞/∞ แล้ว lim f/g = lim f′/g′ โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน (ไม่ใช้กฎผลหาร)

หารด้วยกำลังสูงสุด

(−6 + 1/x + 1/x²)/(3 + 5/x + 7/x²)

ให้ x → ∞

L = −6/3 = −2

คำตอบ

L = −2

เมื่อดีกรีเท่ากัน ลิมิตเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ

2.ลิมิต

คำตอบ: L = 6.25

ใช้ครั้งแรก

5·sin 5x/(4x) → 0/0

ใช้ครั้งที่สอง

25·cos 5x/4

แทนค่า x = 0

L = 25/4 = 6.25

คำตอบ

L = 6.25

3.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 1.104

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

แทนค่า

f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

คำตอบ

f′(0.5) = 1.104

4.อนุพันธ์

คำตอบ: x = −2

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −2 หรือ x = 2

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = −2

คำตอบ

x = −2

5.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: C = 1386 €

การหาค่าเหมาะที่สุด: เขียนปริมาณที่ต้องการทำให้เหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้เงื่อนไขบังคับกำจัดตัวแปรอีกตัว ตั้งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ ตรวจสอบว่าจุดวิกฤตเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ด้วยอนุพันธ์อันดับสองหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง) และอยู่ในช่วงที่เป็นไปได้ จุดปลายช่วง เช่น ความยาวด้านเป็นศูนย์ ไม่ใช่คำตอบ

ต้นทุนเป็นฟังก์ชันของ x

C(x) = 30x + 16000/x

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

C″(x) = 32000/x³ > 0 ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุด

x = √(16000/30) = 23.09 m

y = 800/23.09 = 34.64 m

ต้นทุนต่ำสุด

C = 30·23.09 + 16000/23.09 = €1386

คำตอบ

C = €1386

6.การหาค่าเหมาะที่สุด

คำตอบ: p = 14.5 €

รายได้เป็นฟังก์ชันของราคา

n(p) = 290 − 10p

R(p) = 290p − 10p²

ให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

R″(p) = −20 < 0 ดังนั้นนี่คือค่าสูงสุด

p = 290/20 = €14.5

รายได้สูงสุด

n = 290 − 10·14.5 = 145

R = 14.5·145 = €2103

คำตอบ

p = €14.5

7.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 0.6931

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (ln 4 − ln 2) = ln 2 = 0.6931

คำตอบ

I = 0.6931

8.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 10.67

ค่าศูนย์

4 − x² = 0 → x = ±2

อินทิเกรต

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

คำตอบ

A = 10.67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1